Beräkna matris upphöjt i 15.
Uppgiften, som verkligen inte ser svårt upp, lyder:
Jag tror att jag vet hur man behandlar den här typ av uppgifter: man hittar en mönster för att förstå (vart mördaren ska slå näst!!
)
Jag ser att det växer mot den höger-upp hörnet men jag är inte säkert att jag ser en jättetydligt mönster, förutom diagonalen som upphöjs med n.
Ett alternativ är att beräkna vad är, genom att beräkna , och upprepa för och sedan till sexton. Multiplicera det med inversen till A, och du är klar. Det finns säkert något mönster annars, men detta tar dig endast sex beräkningar, istället för fjorton.
Ett trickartat sätt att lösa det hela framkommer om man stött på begreppet Jordans normalform.
Matrisen är nästan en diagonal matris sånär som på ettorna. Hade det varit en diagonal matris hade potenstagningen varit enkel men ettorna förstör det hela. Så man tar helt enkellt och bryter isär matrisen till en summa av en diagonal och en övertriangulär och tar potensen av summan.
Då visar det sig att matrisen med ettor kommuterar med diagonalmatrisen så man kan använda binomialsatsen vilket visserligen hade varit klen tröst men matrisen med ettorna har egenskapen att dess potenser blir 0 när exponenten är större än 2 så det blir rätt lite kvar av binomialsatsuttrycket.
Detta är inte ett trick jag kommit på utan förkommer i en del bevis med matriser och kommer alltså ur "Jordan normal form"
Edit: 15 choose 2 värdet på sista raden är fel. Borde vara hälften av det.
@Smutstvätt: nice. Jag testar det.
Vänta nu: A^16*A^-1 blir A^-15? Gäller potenslagarna för matriser?
@Serious: OMG. Var är kaffemaskinen? (nej jag skojas, det var snyggt men jag måste träna på varje rad...)
Om jag inte hade läst boken "Shilov's Linear algebra" där det här tricket förekommer så hade jag också kört på Smutstvätts metod, för ja potenslagarna för heltal gäller även för matriser
(Även vid negativa potenser.)
Error converting from LaTeX to MathML
Matrispotenser är också upprepad multiplikation så man kan verifiera dem med samma argument som för vanliga tal.
(Om man vill undvika att behöva ta fram inversen så kan man även göra en modifikation av idén med potenslagarna men som kommer att leda till att man behöver göra några fler multiplikationer ändå)
Ja, denna lag gäller för matriser också. Tänk såhär:
Kommutativa regeln gäller för matriser:
Det kvarstår femton A:n, och alltså gäller denna potenslag även för matriser. :) Men kör på SeriousCephalopods metod. Den var snygg!
Jo det var verkligen skitsnygg, testar och återkommer.
Tack, ni är verkligen tjärnor.
Nu har jag beräknat med Serious system, det funkar utmärkt.
Ni kommer att tänka jag är en greedy hund, men finns det något sätt att beräkna det med mönster analys?
Alltså vi ser att positioner förändras alltid med , positioner i den nedre diagonal är alltid noll.
Det borde väl finnas nåt formula för positioner samt den sista ? Jag har testat några, till exempel
, som funkar för men ingen vidare.
Min tolkning av SeriousCephalopod konst - inget att se, bara för att det var jättekul.
Mönsterigenkänning går också bra. Det enda jag har att lägga till om det är att man kan göra det lite enklare genom att skriva rekursionsrelationerna explicit snarare än att jobba med matriser.
Genom att först anta att matrispotenserna har samma symmetri som startmatrisen kan vi arbeta fram rekursionsrelationer för elementen och få ner det hela till tre rekursionsrelationer.
Sedan kan man i princip lösa dem en efter en snarare än alla samtidigt.
Tack! Jag har testat det och det funkar ju!
Du anar inte hur lång tid vi satt igår och försök komma på formeln med min grupp. Vilket frisk och vaken hjärna du har!
Kan du också berätta hur man går från din rekursiva till en generell formel?
Jag har tyvärr ingen enkel teknik annat än att skriva ut första och snubbla över mönstret men ska jag vara helt ärlig skulle jag aldrig kunnat göra det utan att redan veta formen hos svaren via Jordantricket. Gör jag en oärlig lösning så ser det ut något i den här stilen
(EDIT: Brute force, bör ärligt talat bara skippas för ser mest bara ut som trolleri, nästa post är lite mer logiskt i alla fall)
Alternativ vore kanske att åberopa något resultat från teorin om linjära rekursionsrelationer där jag tror att man kan ansätta en lösningsform men jag har inte dem i minnet.
Det finns ett trick man kan göra för att förenkla detta problem också men är inte så allmänngiltigt. Gör en post om det strax.
Förenklar rekursionsrelationerna genom passande variabelbyten. Det som gör det hela svårt är att de två sista rekursionsrelationerna har en exponentiellt växande term som gör räkningarna plottriga. Ett sätt att komma runt det är att ansätta att sekvensernas element är också växer exponentiellt på ett sätt som gör att vi kan divodera bort den exponentiella termen från båda led.
Detta är i mångt och mycket en gissning men visar sig hjälpa
Tack för ett trevligt problem i alla fall. Hade varit plågsamt intellektuellt understimulerad idag om det inte vore för det här.
SeriousCephalopod skrev :Jag har tyvärr ingen enkel teknik annat än att skriva ut första och snubbla över mönstret men ska jag vara helt ärlig skulle jag aldrig kunnat göra det utan att redan veta formen hos svaren via Jordantricket. Gör jag en oärlig lösning så ser det ut något i den här stilen
Vad modest du är Serious. Jag skulle inte klara utbildning utan er men jag nämner det inte ;)
Nej jag skojas. Practice makes acceptable.
Den andra formeln som du har skrivit för skulle jag aldrig ha gissat, även om jag hade läst om det förut. Du vet att min amnésja-vu är severe.
(EDIT: Brute force, bör ärligt talat bara skippas för ser mest bara ut som trolleri, nästa post är lite mer logiskt i alla fall)
Alternativ vore kanske att åberopa något resultat från teorin om linjära rekursionsrelationer där jag tror att man kan ansätta en lösningsform men jag har inte dem i minnet.
Jag har inte det i kunskapbasen. Så klart.
Det finns ett trick man kan göra för att förenkla detta problem också men är inte så allmänngiltigt. Gör en post om det strax.
Ok väntar!
