Beräkna MacLaurin-polynomet av grad 3 till funktionen ln(1+sin(3 x+3 x^2))

Hej!

Uppgiften är att beräkna MacLaurin-polynomet av grad 3 till funktionen $\ln (1 + \sin (3 x + 3 x^{2}))$ .

Jag tänkte substituera $\sin (3 x + 3 x^2)$ med $t$ och får då standardutvecklingen av grad 3 av $\ln (1 + t)$ som är $t - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3}$ . Men sen då? Jag försökte ta fram MacLaurinpolynomet av grad 3 för $\sin (3 x + 3 x^{2})$ och fick det till $3 x + 3 x^{2} + x^{3}$ . Om jag sen satte in det i standardutvecklingen för $\ln (1 + t)$ ovan och förenklade det uttrycket och bara tar med de första termerna (upp till grad 3) så fick jag att $p (x) = 3 x - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x^{3}$ . Men det är fel. Så frågan är om jag tänkt fel, räknat fel, eller både och!

ln(1+t)

där t = sin(s)

där s = 3x+3x^2

skulle jag nog göra. Tror det kan bli fel annars, dessutom får man hålla koll på graderna. Efter enbart en taylorutveckling av ln(1+t) kan man redan vara uppe i grad 3 eller mer, beroende på vad t är. Så jag skulle gå baklänges först s sen t sen ln(1+t). Klurigt! Angående potentiella räknefel skulle jag använda online calculators (t.ex. symbolab), där de räknar ut taylorpolynomen så kan man jämföra vad man själv fick.

Nu har jag löst uppgiften:

Man räknar ut MacLaurinpolynomet av $\sin (3 x + 3 x^{2})$ av tredje graden och sätter sedan in det uttrycket i MacLaurinpolynomet för $\ln (1 + x)$ . Precis som jag tänkt från början och som du också sa jakobpwns. Istället för att utveckla varje term till fullo kan man sen titta på varje term för sig och se vad det kan bidra med till varje grad. (Med andra ord hade jag gjort ett räknefel med sista termen. Rätt svar är $3 x - \frac{3}{2} x^{2} - \frac{9}{2} x^{3}$ .)

Till exempel kan första termen av utvecklingen av $\sin (3 x + 3 x^{2})$ som innehåller alla tre graderna $(3 x + 3 x^{2} + x^{3})$ bidra med termer till alla tre termer (grader) av utvecklingen av $\ln (1 + x)$ . Andra termen kan bidra till andra och tredje termen (graderna) medan tredje termen bara kan bidra till sig själv (tredje graden).

På så sätt kunde jag förenkla uträkningen och behövde inte utveckla alla termer till fullo i utvecklingen av $\ln (1 + x)$ . Det var förmodligen det här du menade jabkobpwns.

Gött

Svara

Visa senaste svar