Beräkna längden av kurvan med en integral

Hej! Har helt fastnat i ett matteproblem där jag ska beräkna längden av kurvan $y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ mellan x=1 och x=2.

Jag vet att jag kan beräkna längden av en kurva med hjälp av en integral genom att dela in kurvan i små trianglar vars hypotenusa följer kurvans längd. Summan av hypotenusorna kommer då att ge ett ungefärligt värde på kurvans längd. Jag har fått fram följande uttryck för längden av en kurva:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2})}$

Jag har fastnat då jag inte vet hur jag med hjälp av den givna funktionen kan beräkna längden mellan x=1 och x=2, eftersom att jag inte kan bestämma den primitiva funktionen i uttrycket ovan.

Skulle vara mycket tacksam om någon kunde hjälpa mig!

Vad får du för integrand med det y som du har?

Förmodar att jag får $\int_{a}^{b} \sqrt{(1 + {(\frac{e^{x} - e^{- x})}{2})}^{2})}$ , men löser jag integralen får jag arean under kurvan, inte längden på kurvan...

Varför skulle det inte bli kurvans längd?

Uttrycket under rottecknet går att förenkla. Prova det.

Nu är jag med!

Jag bryter ut 1/2 och får $\sqrt{(1 + (\frac{1}{2} {(e^{x} - e^{- x}))}^{2})}$ .

Jag kan räkna ut svaret med hjälp av trapetsregeln och får fram 2,65 a.e. Är detta en fungerande metod att beräkna integralen på?

Trapetsregeln fungerar alltid, men du kan förenkla det här så långt att du har en känd integral.

Vad får du om du utvecklar kvadraten?

Tusen tack för svar.

Om jag utvecklar kvadraten kommer jag fram till $\sqrt{1 + (\frac{1}{2} (\frac{e^{2 x}}{2} + x))}$

Nej, det är inte rätt.

Svara

Visa senaste svar