Beräkna kurvlängd

Hej! Har problem med följande uppgift:

"Kossan Rosa är bunden med ett snöre vid ett träd. Snöret har längden L och det cylindriska trädet har radien R. I startögonblicket står rosa med snöret fullt sträckt, rakt radiellt ut från trädet. Rosa börjar vandra runt trädet, hela tiden med sträckt snöre. Hur långt har hon gått då hon kommer till stammen? (Såväl snörets tjocklek som Rosas utsträckning försummas)."

Jag har kommit fram till att sträckan hon går innan snöret börjar rullas blir 2piL/4=piL/2, och att det ska stå framför integralen.

Sedan får jag att ds, bågelementet, blir : ((L-R*alfa)^2+R^2+((L-R*alfa)^2*R^2/((L-R*alfa)^2+R^2))^1/2

Alltså roten ur allt! Sorry om det är sjukt otydligt, får iaf att r(alfa)=roten ur:(L-R*alfa)^2+R^2

roten ur allt alltså! Men det blir fel, och jag hänger inte riktigt med, något blir fel, någon som har tips?

Längden av en cirkelbåge är bara vinkeln gånger radien, om vinkeln anges i radianer. Ditt bågelement ds är väl just en sån cirkelbåge, som uppstår då kon tar minsta möjliga steg, och repet vrids minsta möjliga vinkel? Vad får du för uttryck för bågelementet om du använder den formeln?

Radien på den spiralformade banan som kon går längs med ges av:

$r(\theta)=L-R\theta$

Båglängden ges av:

$\displaystyle S = \int_{0}^{L/R} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}d\theta$

Slutvinkeln är L/R för att R gånger vinkeln är så mycket rep som virats runt trädet. När detta är lika med L har Rosa nått stammen.

"I startögonblicket står Rosa med snöret fullt sträckt" => Rosa går sträckan $\frac{\pi}{2}L$ innan repet bildar en tangent med cirkeln och lindas upp runt cylindern.

Varje infinitesimal båglängd ges av radien gånger vinkeln, dvs $(L-R\alpha)d\alpha$ , sträckan Rosa går är alltså

$s=\frac{\pi}{2}L+\int_0^{L/R} (L-R\alpha)d\alpha=\frac{\pi}{2}L+\left[L\alpha -\frac{R\alpha^2}{2}\right]_0^{L/R}$

$s=\frac{\pi}{2}L+\frac{L^2}{2R}$

Svara

Visa senaste svar