Beräkna kurvintegral

Här är en instruktion om hur man använder LaTeX på Pluggakuten, alternativt kan du skriva på papper och lägga upp en bild.

En gissning bara: det kan gå bättre om du inte skriver blanktecken på de ställen där det dök upp & nbsp;

Laguna skrev:

En gissning bara: det kan gå bättre om du inte skriver blanktecken på de ställen där det dök upp & nbsp;

$F(r(t)) = (\frac{2(\sin t, \cos t)}{r \cos^2 t + r^2 \sin t}, \frac{r^2 \sin t}{r\cos^2 t + r^2 \sin t})$
Ja, det fungerade att ta bort blanktecknet, men tycker de tär konstigt.. fungerar ju hos r^2 \sin t att ha mellanslag där emellan. 

Känsligt...;-)

mrlill_ludde skrev:

Laguna skrev:

En gissning bara: det kan gå bättre om du inte skriver blanktecken på de ställen där det dök upp & nbsp;

$F(r(t)) = (\frac{2(\sin t, \cos t)}{r \cos^2 t + r^2 \sin t}, \frac{r^2 \sin t}{r\cos^2 t + r^2 \sin t})$
Ja, det fungerade att ta bort blanktecknet, men tycker de tär konstigt.. fungerar ju hos r^2 \sin t att ha mellanslag där emellan. 

Känsligt...;-)

Du kan på något sätt ha fått in en så kallad "non-breaking space" i stället för ett vanligt mellanslag. nbspc betyder nämligen non-breaking space. De ser precis likadana ut, men meningen är att ordbehandlare inte ska bryta raden vid en non-breaking space (det heter säkert nåt bra på svenska). Man kan ofta skriva in ett sånt med AltGr-mellanslag eller Option-mellanslag eller något sådant. LaTeX-koden betraktar den kanske inte som ett mellanslag.

Jag har noterat att helt vanliga mellanslag också kan vara skadliga, på vissa ställen.

Jag är ingen stjärna på LaTeX, men jag tycker det ser konstigt ut med ett & mitt i koden - menar du \?

Smaragdalena skrev:

Jag är ingen stjärna på LaTeX, men jag tycker det ser konstigt ut med ett & mitt i koden - menar du \?

Näeee, den kommer när jag postar  :/  annars finns den inte där, 

Hej!

Första raden är fel och andra raden är fel.

Du skriver att $F(x,y)=(... dx, =... dy)$.

Sedan är det inte så att $P(x,y)=... dx$ och $Q(x,y)=... dy$; det ska inte förekomma några differentialer här. 

Albiki skrev:

Hej!

Första raden är fel och andra raden är fel.

Du skriver att $F(x,y)=(... dx, =... dy)$.

Sedan är det inte så att $P(x,y)=... dx$ och $Q(x,y)=... dy$; det ska inte förekomma några differentialer här. 

Hmm. okej. Sååååå.. då ska jag lösa den mha. en potential? något i stil såhär: 

Det verkar som att du har klippt-och-klistrat kod i ShareLatex. Gör inte det, då du kan få med "osynliga" kommandon på det sättet. Mata istället in all kod manuellt så ska det nog gå bra. Det straffar sig att vara lat.

Albiki skrev:

Hej!

Första raden är fel och andra raden är fel.

Du skriver att $F(x,y)=(... dx, =... dy)$.

Sedan är det inte så att $P(x,y)=... dx$ och $Q(x,y)=... dy$; det ska inte förekomma några differentialer här. 

OKej så jag kan inte använda Green på den här? 
och vet inte, kan jag använda mig av något liknande 

Isåfall, vad om 

$P \no \frac{-y^2dx}{x^2+y^4}$
och $Q \no = \frac{2xy}{x^2+y^4}$

\no är LaTeX koden för "nte lika" med btw.

Albiki skrev:

Det verkar som att du har klippt-och-klistrat kod i ShareLatex. Gör inte det, då du kan få med "osynliga" kommandon på det sättet. Mata istället in all kod manuellt så ska det nog gå bra. Det straffar sig att vara lat.

Lat var väl lite hårt, det är väl inte mindre jobbigt att skriva i sharelatex kontra här? :S

Greens formel är fullt möjlig att använda här. När du använder den kommer du att märka att vektorfältet är en speciell typ, som gör att ytterligare en metod fungerar bra.

Angående dina LaTeX-problem skulle jag rekommendera dig att antingen skriva koden direkt  på Pluggakuten eller skriva den på ShareLaTeX och sedan skärmdumpa resultatet. De två blandar sig inte särskilt bra.

AlvinB skrev:

Greens formel är fullt möjlig att använda här. När du använder den kommer du att märka att vektorfältet är en speciell typ, som gör att ytterligare en metod fungerar bra.

Angående dina LaTeX-problem skulle jag rekommendera dig att antingen skriva koden direkt  på Pluggakuten eller skriva den på ShareLaTeX och sedan skärmdumpa resultatet. De två blandar sig inte särskilt bra.

Men vad är då mitt P och Q? 😳

\no är koden för inte lika med right? Varför fungerar inte det här ☠️☠️☠️☠️

Du har ju skrivit det högst upp (men du slarvade lite med notationen, som Albiki nämner skall ju inte $dx$ och $dy$ vara del i $P$ och $Q$)!

LaTeX-koden för ej lika med på Pluggakuten är "\neq". "\no"-kommandot fungerar inte i Pluggakutens version av LaTeX.

AlvinB skrev:

Du har ju skrivit det högst upp (men du slarvade lite med notationen, som Albiki nämner skall ju inte $dx$ och $dy$ vara del i $P$ och $Q$)!

LaTeX-koden för ej lika med på Pluggakuten är "\neq". "\no"-kommandot fungerar inte i Pluggakutens version av LaTeX.

Och om jag då vill tillämpa som den här: 

Hur gör jag  då, eftersom de inte blir 0? 

För det som gör mig så förvirrad i den här uppgiften är att vi har en parantes: (-dx/x + dy/y) 

vad gör man med den? mulitplicerar man in den?

Du har fel uttryck för $P$ och $Q$! I nämnaren skall det vara $y^{\color{red}4}$. Vi har alltså:

$P\left(x,y\right)=\dfrac{-y^2}{x^2+y^4}$

$Q\left(x,y\right)=\dfrac{2xy}{x^2+y^4}$

Beräkna nu uttrycket i Greens formel så ser du att det visst blir lika med noll (och därmed är vektorfältet konservativt). Då kan du antingen byta integrationskurva till något enkelt (typ en rät linje) eller beräkna integralen som en potentialskillnad.

AlvinB skrev:

Du har fel uttryck för $P$ och $Q$! I nämnaren skall det vara $y^{\color{red}4}$. Vi har alltså:

$P\left(x,y\right)=\dfrac{-y^2}{x^2+y^4}$

$Q\left(x,y\right)=\dfrac{2xy}{x^2+y^4}$

Beräkna nu uttrycket i Greens formel så ser du att det visst blir lika med noll (och därmed är vektorfältet konservativt). Då kan du antingen byta integrationskurva till något enkelt (typ en rät linje) eller beräkna integralen som en potentialskillnad.

Okej, jag tror jag har en annan tråd om hur jag kan lösa den mha potentialskillnad. Men jag vet inte hur jag kan byta integrationskurva, så jag kör gärna det. 

Det står 

Jag är med på vad dom säger, men e det bara för (eftersom vi har linjen) x^2-y^2 =0 => x^2 = y^2 => y=x , som för att vi har k=1 där som det fungerar? (eller överanalyserar jag?)

Nja, vi kan ju alltid byta integrationskurva till en enkel rät linje, men i just det där fallet tar de genvägar genom att utnyttja att linjen som går genom $(1,1)$ och $(3,3)$ är $y=x$, vilket gör att $x^2-y^2$-termen blir noll och därmed att kurvintegralen blir noll.

I detta fall kan du inte göra exakt samma sak, men försök att beräkna kurvintegralen av den räta linjen mellan $(-1,0)$ och $(1,0)$ med hjälp av en parametrisering. Det faktum att linjen ligger på $x$-axeln och att $y$-komponenten i parametriseringen då blir noll gör det nämligen väldigt enkelt att beräkna integralen.

AlvinB skrev:

Nja, vi kan ju alltid byta integrationskurva till en enkel rät linje, men i just det där fallet tar de genvägar genom att utnyttja att linjen som går genom $(1,1)$ och $(3,3)$ är $y=x$, vilket gör att $x^2-y^2$-termen blir noll och därmed att kurvintegralen blir noll.

I detta fall kan du inte göra exakt samma sak, men försök att beräkna kurvintegralen av den räta linjen mellan $(-1,0)$ och $(1,0)$ med hjälp av en parametrisering. Det faktum att linjen ligger på $x$-axeln och att $y$-komponenten i parametriseringen då blir noll gör det nämligen väldigt enkelt att beräkna integralen.

Så, om vi hade haft att den går från (1,1) -> (3,4) så får vi ju inte y=x . Och då kan vi inte utnyttja den, hur gör man dÅ? 

"I detta fall kan du inte göra exakt samma sak, men försök att beräkna kurvintegralen av den räta linjen mellan (-1,0) och (1,0) "  jag tänker att man kanske kan beräkna ngt som hade med linjär algebra och göra? räkna vektor? annars vet jag inte, för jag hade ju tänkt att räkna F[r(t)).r'(t)] och integrera över [-1,1]

Du skall göra precis det, parametrisera kurvan och använda dig av formeln:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$

I facit gjorde man ju ett specialtrick som berodde just på $y=x$, men ovanstående formel går alltid att använda.

AlvinB skrev:

Du skall göra precis det, parametrisera kurvan och använda dig av formeln:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$

I facit gjorde man ju ett specialtrick som berodde just på $y=x$, men ovanstående formel går alltid att använda.

$F(r(t)) = (\frac{2(\sin t, \cos t)}{r \cos^2 t + r^2 \sin t}, \frac{r^2 \sin t}{r\cos^2 t + r^2 \sin t})$

Stämmer det här då?

Kom vi inte överens om att du skulle parametrisera ett linjestycke för att göra det enkelt?

Nu har du parametriserat något helt annat (en cirkel kanske?) vilket kommer göra att du får en hemsk integral att beräkna.

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Du skall göra precis det, parametrisera kurvan och använda dig av formeln:

$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$

I facit gjorde man ju ett specialtrick som berodde just på $y=x$, men ovanstående formel går alltid att använda.

$F(r(t)) = (\frac{2(\sin t, \cos t)}{r \cos^2 t + r^2 \sin t}, \frac{r^2 \sin t}{r\cos^2 t + r^2 \sin t})$

 

Stämmer det här då?

jag trodde det var standard att $$r(t) =  {\cos t, \sin t)$$

Men iofs, det blir ju inte så . Nu när jag tänker efter. Kollar på beviset och jag vet inte kan man använda för beviset säger ju sedan U(b)-U(a). 

Så jag måste använda mig av (mitt hatobjekt) potential iiiiigen.. 

Du måste inte använda dig av en potentialfunktion, det går visst att parametrisera.

I detta fall är vi intresserade av ett linjestycke mellan punkterna $(-1,0)$ och $(1,0)$. Detta linjestycke parametriseras av:

$\mathbf{r}(t)=(t,0)$

där $-1\leq t\leq1$.

Parametriseringen $(\cos(t),\sin(t))$ parametriserar nämligen en cirkel, och är därför inte vi använder här.

AlvinB skrev:

Du måste inte använda dig av en potentialfunktion, det går visst att parametrisera.

I detta fall är vi intresserade av ett linjestycke mellan punkterna $(-1,0)$ och $(1,0)$. Detta linjestycke parametriseras av:

$\mathbf{r}(t)=(t,0)$

där $-1\leq t\leq1$.

Parametriseringen $(\cos(t),\sin(t))$ parametriserar nämligen en cirkel, och är därför inte vi använder här.

Ahaaaa...Då tror jag att jag bröjrar förstå,

:D!!