Beräkna intergral

Hej,

jag ska beräkna intergralen $\int_{0}^{1} e^{x} \ln (1 + e^{x}) d x$ , och har gjort såhär:

$\int_{0}^{1} e^{x} \ln (1 + e^{x}) d x = {[e^{x} \ln (1 + e^{x})]}^{1}_{0} - \int_{0}^{1} e^{x} * \frac{1}{1 + e^{x}} d x = e \ln (1 + e) - \ln (1 + 1) - {[\ln (1 + e^{x})]}^{1}_{0} = e \ln (1 + e) - \ln (2) - (\ln (1 + e) - \ln (1 + 1)) = e \ln (1 + e) - \ln (2) - l n (1 + e) + \ln (2) = e \ln (1 + e) - \ln (1 + e)$

Tänkte att jag skulle partialintergrera, där f(x) = e^x och g(x) = ln(1+e^x) i satsen

$\int f (x) * g (x) d x = F (x) g (x) - \int F (x) g ´ (x)$

Men någontans blir det fel, och jag förstår inte var :)

g'(x)=e^x/(e^x+1) inte 1/(e^x+1)

Hej,

Inför $u(x) = 1+e^x$ och notera att $du(x) = e^x\,dx$ så att integralen kan skrivas

$\displaystyle\int_{u=2}^{1+e}\ln u\,du$

vilket direkt kan integreras till

$\displaystyle[u\ln u-u]_{2}^{1+e}=\left(1+e\right)\ln\left(1+e\right)+1-e-2\ln 2.$

Svara