Beräkna integraler cos

Kolla på de trigonometriska formlerna på formelbladet.

https://www.formelsamlingen.se/media/2019301/formelblad_matematik_4.pdf

Det finns en som man kan utnyttja där.

Hittar inte vilken

Det finns inte så många. Finns det någon där man multiplicerar en sinus-funktion med en cosinus-funktion?

Ser bara plus och minus ingen multiplikation iallafall under trigonometriska formler.

Är det sin2v = 2sinv * cosv?

Tips: "dubbla vinkeln".

Varför blir det den "dubbla vinkeln"?

RogTheMan skrev:

Varför blir det den "dubbla vinkeln"?

Kolla om du ser någon likhet med integranden?

Förstår bara inte varför det blir sin2x= 2 *sinx * cos

Du kom till den här sidan för att du ville integrera $\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$, något som visade sig vara knepigt.

Om du utnyttjar att $\sin \left(2*v\right)=2*\sin \left(v\right)*\cos \left(v\right)$ kanske du kan bilda ett uttryck som är enklare att integrera.

Det är här jag fastnar. Jag vet inte

$$\begin{gathered} \sin \left(2*v\right)=2*\sin \left(v\right)*\cos \left(v\right) \\ \iff \\ \sin \left(v\right)*\cos \left(v\right)=\frac{\sin \left(2*v\right)}{2} \end{gathered}$$

Fattar inte varför det blir så. 

Hur ska jag applicera det i uppgiften?

RogTheMan skrev:

Fattar inte varför det blir så. 

$$\begin{gathered} a=2*b \\ \iff \\ a*\frac{1}{2}=2*b*\frac{1}{2} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=\frac{2*b}{2} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=\frac{1*b}{1} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=b \\ \iff \\ b=\frac{a}{2} \end{gathered}$$

Ersätt a med $\sin \left(2*v\right)$ och b med $\sin \left(v\right)*\cos \left(v\right)$ och ekvationen är densamma.

RogTheMan skrev:

Hur ska jag applicera det i uppgiften?

Ersätt $\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$ med $\frac{\sin \left(2*x\right)}{2}$.

Därefter vill du hitta den primitiva funktionen. Några tips och råd kan du få här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/integraler/rakneregler-for-integraler

Står detta någonstans eller är det mer som en oskriven regel?

Bedinsis skrev:

RogTheMan skrev:

Fattar inte varför det blir så. 

$$\begin{gathered} a=2*b \\ \iff \\ a*\frac{1}{2}=2*b*\frac{1}{2} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=\frac{2*b}{2} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=\frac{1*b}{1} \\ \iff \\ \frac{a}{2}=b \\ \iff \\ b=\frac{a}{2} \end{gathered}$$

Ersätt a med $\sin \left(2*v\right)$ och b med $\sin \left(v\right)*\cos \left(v\right)$ och ekvationen är densamma.

Var står detta? Hur blir det $\frac{1}{2}$?

Bedinsis skrev:

RogTheMan skrev:

Hur ska jag applicera det i uppgiften?

Ersätt $\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$ med $\frac{\sin \left(2*x\right)}{2}$.

Därefter vill du hitta den primitiva funktionen. Några tips och råd kan du få här:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/integraler/rakneregler-for-integraler

Sambandet för sin(x)*cos(x) står i formelsamlingen

Om vi vet att 

$\sin \left(2*x\right)=2*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$

så vet vi att vänsterledet + 1 är samma sak som högerledet + 1.

Vi vet även att vänsterledet - 1 är samma sak som  högerledet - 1.

Vi vet även att vänsterledet * 10 är samma sak som högerledet * 10.

Eller i korta ordalag: om vi utför en matematisk operation med vänsterledet så är vänsterledet fortfarande samma sak som högerledet, förutsatt att vi utför exakt samma matematiska operation på högerledet.

I det här fallet vill vi få ut $\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)=$[ett snällare uttryck], men dessvärre står det inte $\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$, det står $2*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$.

För att få bort tvåan från högerledet måste vi dividera uttrycket med två, eftersom $\frac{2*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)}{2}=\frac{\sout{2}*\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)}{\sout{2}}=\sin \left(x\right)*\cos \left(x\right)$

Så detta vill vi göra, men för att uttrycket fortfarande skall stämma måste vi göra samma sak med högerledet.

$\frac{\sin \left(2*x\right)}{2}$

Därför blir det $\frac{1}{2}$. Att multiplicera med $\frac{1}{2}$är samma som att dividera med 2.

Okej förstod lite bättre nu men måste ändå öva mer.

Då blir det alltså:

${\int }_{0,25\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{1}{2} \sin 2x dx$

Flyttar jag ut då $\frac{1}{2}$framför $\int$och räknar primitiv funktion av sin2x som är -cos 2x?

Du kan också prova substitutionen

t = sin(x)

RogTheMan skrev:

Flyttar jag ut då $\frac{1}{2}$framför $\int$och räknar primitiv funktion av sin2x som är -cos 2x?

> Är den primitiva funktionen till sin(2x) -cos(2x)?

Pröva att derivera -cos(2x). Om du får fram sin(2x) bör du göra så som du skrev.

Bedinsis skrev:

RogTheMan skrev:

Flyttar jag ut då $\frac{1}{2}$framför $\int$och räknar primitiv funktion av sin2x som är -cos 2x?

> Är den primitiva funktionen till sin(2x) -cos(2x)?

Pröva att derivera -cos(2x). Om du får fram sin(2x) bör du göra så som du skrev.

Tänker att den blir det ja

Kolla upp kedjeregeln på formelbladet.

Bedinsis skrev:

Kolla upp kedjeregeln på formelbladet.

deriverar jag -cos(2x) så blir det väl samma. Alltså -sin(2x).

funktionen cos (x) får den primitiva funktionen sin(x)

RogTheMan skrev:

Bedinsis skrev:

Kolla upp kedjeregeln på formelbladet.

deriverar jag -cos(2x) så blir det väl samma. Alltså -sin(2x).

funktionen cos (x) får den primitiva funktionen sin(x)

Derivatan av cos(x) är -sin(x). Derivatan av cos(2x) är -2sin(2x). Derivatan av -cos(2x) är 2sin(2x).

Laguna skrev:

RogTheMan skrev:

Visa föregående citat

Bedinsis skrev:

Kolla upp kedjeregeln på formelbladet.

deriverar jag -cos(2x) så blir det väl samma. Alltså -sin(2x).

funktionen cos (x) får den primitiva funktionen sin(x)

Derivatan av cos(x) är -sin(x). Derivatan av cos(2x) är -2sin(2x). Derivatan av -cos(2x) är 2sin(2x).

Ahh jaa okej. Blev förvirrad om jag skulle hitta den primitiva funktionen.

Så skriver detta:

${\int }_{0,25\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\frac{1}{2} \sin 2x dx$

Och hur skriver jag vidare i uträkningen så det blir rätt?

Nästa steg är att ta fram en primitiv funktion till integranden. 

Smaragdalena skrev:

Nästa steg är att ta fram en primitiv funktion till integranden. 

Vet inte bara hur jag ska applicera $\frac{1}{2}$.

Tänker en primitiv funktion måste bli ($-\frac{1}{2} Cos 2x$) Eller?

Du verkar glömma inre derivatan, eller så glömmer du faktorn ½.

Smaragdalena skrev:

Du verkar glömma inre derivatan, eller så glömmer du faktorn ½.

hmm så det finns en till 1/2? Varför uppstår den? Vill bara förstå.

Då måste det bli $\frac{1}{2}\times {{\left[-\frac{1}{2} Cos2x\right]}^{\mathrm{\pi }}}_{0,25\mathrm{\pi }}$ Eller? 

Hej RogTheMan och alla :)

Det är för att när du deriverar $-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)$, får du inre derivata 2. Dvs $\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)\right)= \frac{1}{\cancel{2}}·\sin \left(2x\right)·\cancel{2} = \sin \left(2x\right)$, men du ska ha $\frac{\sin \left(2x\right)}{2}$, därför ska du ha en ytterligare $\frac{1}{2}$.

Du frågade också varför $\sin \left(2x\right)=2\sin x\cos x$.

Om du jämför med trigonometriska formel för sin(x+w) : $\sin (v+w)=\sin v\cdot \cos w+\cos v\cdot \sin w$.

Här du har att: $\sin (x+x) = \sin x·\cos x+\sin x·\cos x$ =  $2\sin x\cos x$. Det är bara kvar att dela med 2 för att få uttrycken du ska integrera!

dajamanté skrev:

Hej RogTheMan och alla :)

Det är för att när du deriverar $-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)$, får du inre derivata 2. Dvs $\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)\right)= \frac{1}{\cancel{2}}·\sin \left(2x\right)·\cancel{2} = \sin \left(2x\right)$, men du ska ha $\frac{\sin \left(2x\right)}{2}$, därför ska du ha en ytterligare $\frac{1}{2}$.

Du frågade också varför $\sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$.

Om du jämför med trigonometriska formel för sin(x+w) : $\sin (v+w)=\sin v\cdot \cos w+\cos v\cdot \sin w$.

Här du har att: $\sin (x+x) = \sin \left(x\right)·\cos ·\left(x\right)+\sin \left(x\right)·\cos ·\left(x\right)$ =  $2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)$. Det är bara kvar att dela med 2 för att få uttrycken du ska integrera!

Ahh okej lite nytt för mig detta men förstår mer tack. 

så att skriva $\frac{1}{2}\times {{\left[-\frac{1}{2}Cos 2x\right]}^{\mathrm{\pi }}}_{0,25\mathrm{\pi }}$ är inte korrekt? Vilket då bör bli $-\frac{1}{4}Cos2x$ tänker jag.

Eller?

Ja det brukar vara så.

$$\begin{gathered} -\frac{1}{4}{{\left[Cos 2x\right]}^{\mathrm{\pi }}}_{0,25\mathrm{\pi }} \\ =-\frac{1}{4}\left[\mathrm{Cos} 2\mathrm{\pi } - \mathrm{Cos}\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right] \\ =-\frac{1}{4}\left[1-0\right] \\ =-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Blir detta rätt då?

Bra jobbat! Det är korrekt. Jag själv slarvar mycket så jag brukar kontrollera på wolfram.