Beräkna integraler (Matematik/Matte 4/Derivata)

Naj. Värdet av en integral beräknar du med hjälp av en primitiv funktion till det som integreras. Kan du bestämma en primitiv funktion till $(x+1)(x-2)$ ?

Nej.

Integraler - Räkneregler och tillämpningar

Inte riktigt

MrDavido skrev:
Inte riktigt

Tycker de regler och formler som finns är svåra att applicera och förstå. Hänger inte med alls

I det här fallet kan du utveckla uttrycket för att lättare kunna hitta en primitiv funktion.

Mega7853 skrev:
I det här fallet kan du utveckla uttrycket för att lättare kunna hitta en primitiv funktion.

Och hur gör jag det? Hjärnsläpp nu

Hur du utvecklar parenteser? Det har du nog sett innan:

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Skaft skrev:
Hur du utvecklar parenteser? Det har du nog sett innan:
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

(x+1)(x-2) --> (x² + 2x)(1x+2)

Jag vet inte vad du gjorde där. Varje term i vänstra parentesen ska multipliceras med varje term i högra:

$(x+1)(x-2)$ blir $x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)$ när man utvecklar parenteserna.

Vad får du om du förenklar nu?

Skaft skrev:
Jag vet inte vad du gjorde där. Varje term i vänstra parentesen ska multipliceras med varje term i högra:
$(x+1)(x-2)$ blir $x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)$ när man utvecklar parenteserna.
Vad får du om du förenklar nu?

Varför blir det -2 där? Trodde det var a*c + a*d osv

Ja okej nu ser jag. sorry

I formeln är det ju plustecken, men i uttrycket är det minustecken. Därför bakar jag in tecknen i termerna a,b,c,d:

$(x+1)(x-2) = (x+1)(x+(-2))$

Nu är det plustecken mellan talen, och formeln kan användas.

Skaft skrev:
I formeln är det ju plustecken, men i uttrycket är det minustecken. Därför bakar jag in tecknen i termerna a,b,c,d:
$(x+1)(x-2) = (x+1)(x+(-2))$
Nu är det plustecken mellan talen, och formeln kan användas.

x²-x-2 ska det bli tydligen men förstod inte riktigt varför. Rörigt.

Jag som krånglar säkert men vill bara förstå.

När vi utvecklar parenteserna ska allt i vänstra parentesen multipliceras med allt i högra. Så det första x:et tar du gånger det andra x:et, och sen gånger -2. Sen tar du ettan och multiplicerar med x:et från den andra parentesen, och sen gånger -2.

$(x+1)(x-2) \\ (x+1)(x+(-2)) \\ x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)$

Förenkla nu de termerna:

$x\cdot x = x^2 \\ x(-2) = -2x \\ 1\cdot x = x \\ 1(-2) = -2$

Lägger du ihop alla dem så får du...?

Skaft skrev:
När vi utvecklar parenteserna ska allt i vänstra parentesen multipliceras med allt i högra. Så det första x:et tar du gånger det andra x:et, och sen gånger -2. Sen tar du ettan och multiplicerar med x:et från den andra parentesen, och sen gånger -2.
$(x+1)(x-2) \\ (x+1)(x+(-2)) \\ x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)$
Förenkla nu de termerna:
$x\cdot x = x^2 \\ x(-2) = -2x \\ 1\cdot x = x \\ 1(-2) = -2$
Lägger du ihop alla dem så får du...?

x2-x-2 eller?

x²

-2x+x=x så borde bli x²-x-2 va?

Jupp! Så nu har du förenklat integranden. Nästa steg är att hitta en primitiv funktion. Frågan är alltså: vad deriveras till $x^2 - x - 2$ ?

Skaft skrev:
Jupp! Så nu har du förenklat integranden. Nästa steg är att hitta en primitiv funktion. Frågan är alltså: vad deriveras till $x^2 - x - 2$ ?

2x-1-2x eller?

Nej, nu har du deriverat. Vi ska inte derivera $x^2 - x - 2$ , vi ska hitta den funktion som deriveras till $x^2 - x -2$ .

Skaft skrev:
Nej, nu har du deriverat. Vi ska inte derivera $x^2 - x - 2$ , vi ska hitta den funktion som deriveras till $x^2 - x -2$ .

Osäker faktiskt nu

Jag föreslår att du bläddrar tillbaka till avsnittet om primitiva funktioner. Eftersom du behöver använda dem när du löser integraler blir det väldigt mycket på en gång annars.

Men kom ihåg att när du deriverar $x^2$ så tar du ner exponenten, och minskar exponenten med 1: $2x^1$ . Därför måste det som deriveras till $x^2$ ha en exponent som är 1 större, så att den kan minskas till 2: $x^3$ . Men, derivatan av x³ är $3x^2$ , trean plockas ju ner. Därför måste den trean divideras bort! Alltså är $\frac{x^3}{3}$ en primitiv funktion till $x^2$ . Prova själv att derivera den och kontrollera att du får x².

Sen kan man använda samma "baklängestänk" på de andra två termerna. Boken har säkert några "baklängesderiveringsregler" också som du kan använda, men det är bra att tänka igenom de här stegen så man förstår varför det blir som det blir.

Skaft skrev:
Jag föreslår att du bläddrar tillbaka till avsnittet om primitiva funktioner. Eftersom du behöver använda dem när du löser integraler blir det väldigt mycket på en gång annars.
Men kom ihåg att när du deriverar $x^2$ så tar du ner exponenten, och minskar exponenten med 1: $2x^1$ . Därför måste det som deriveras till $x^2$ ha en exponent som är 1 större, så att den kan minskas till 2: $x^3$ . Men, derivatan av x³ är $3x^2$ , trean plockas ju ner. Därför måste den trean divideras bort! Alltså är $\frac{x^3}{3}$ en primitiv funktion till $x^2$ . Prova själv att derivera den och kontrollera att du får x².
Sen kan man använda samma "baklängestänk" på de andra två termerna. Boken har säkert några "baklängesderiveringsregler" också som du kan använda, men det är bra att tänka igenom de här stegen så man förstår varför det blir som det blir.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - x^{2} ?$

Vad är derivatan av $-x^2$ ? Blir det $-2$ ?

Skaft skrev:
Vad är derivatan av $-x^2$ ? Blir det $-2$ ?

-2x

Så $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x$

Jepp! Nu kan du använda den primitiva funktionen du hittat för att beräkna integralens värde. Vet du hur?

Term1: ${[\frac{5^{3}}{3} - \frac{5^{2}}{2} - 2 \times 5]}^{5}_{0} = 19, 16$

Term2: ${[\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{2}}{2} - 2 \times 0]}^{5}_{0} = 0$

Stämmer detta?

Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:

$\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167$

Skaft skrev:
Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:
$\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167$

Sweet okej. Tackar. Tog en paus och kom tillbaka och det hjälpte.

Skaft skrev:
Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:
$\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167$

Skriver man inte i såna hakparanteser? Eller funkar det med vanliga paranteser?

Hakparenteser sätter man runt det uttryck man ska sätta in värden i, alltså runt den primitiva funktionen. När man sätter in värdena finns ingen anledning att använda nåt annat än vanliga parenteser.