29 svar
394 visningar
RogTheMan behöver inte mer hjälp
RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 12:28

Beräkna integraler

05(x+1)(x-2) dx

Är det inte då:

5+10-2

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 12:35

Naj. Värdet av en integral beräknar du med hjälp av en primitiv funktion till det som integreras. Kan du bestämma en primitiv funktion till (x+1)(x-2)(x+1)(x-2)?

SaintVenant 3916
Postad: 20 mar 2020 12:35

Nej.

Integraler - Räkneregler och tillämpningar

MrDavido 2 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 12:36 Redigerad: 20 mar 2020 12:39

Inte riktigt

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 12:40 Redigerad: 20 mar 2020 12:46
MrDavido skrev:

Inte riktigt

Tycker de regler och formler som finns är svåra att applicera och förstå. Hänger inte med alls

Mega7853 211
Postad: 20 mar 2020 12:48

I det här fallet kan du utveckla uttrycket för att lättare kunna hitta en primitiv funktion.

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 13:02
Mega7853 skrev:

I det här fallet kan du utveckla uttrycket för att lättare kunna hitta en primitiv funktion.

Och hur gör jag det? Hjärnsläpp nu

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 13:08

Hur du utvecklar parenteser? Det har du nog sett innan:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 13:19
Skaft skrev:

Hur du utvecklar parenteser? Det har du nog sett innan:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

(x+1)(x-2) --> (x2 + 2x)(1x+2)

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 13:27

Jag vet inte vad du gjorde där. Varje term i vänstra parentesen ska multipliceras med varje term i högra:

(x+1)(x-2) (x+1)(x-2) blir x·x+x(-2)+1·x+1(-2) x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2) när man utvecklar parenteserna.

Vad får du om du förenklar nu?

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 13:33 Redigerad: 20 mar 2020 13:35
Skaft skrev:

Jag vet inte vad du gjorde där. Varje term i vänstra parentesen ska multipliceras med varje term i högra:

(x+1)(x-2) (x+1)(x-2) blir x·x+x(-2)+1·x+1(-2) x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2) när man utvecklar parenteserna.

Vad får du om du förenklar nu?

Varför blir det -2 där? Trodde det var a*c + a*d osv

Ja okej nu ser jag. sorry

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 13:37

I formeln är det ju plustecken, men i uttrycket är det minustecken. Därför bakar jag in tecknen i termerna a,b,c,d:

(x+1)(x-2)=(x+1)(x+(-2))(x+1)(x-2) = (x+1)(x+(-2))

Nu är det plustecken mellan talen, och formeln kan användas.

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 13:46 Redigerad: 20 mar 2020 13:51
Skaft skrev:

I formeln är det ju plustecken, men i uttrycket är det minustecken. Därför bakar jag in tecknen i termerna a,b,c,d:

(x+1)(x-2)=(x+1)(x+(-2))(x+1)(x-2) = (x+1)(x+(-2))

Nu är det plustecken mellan talen, och formeln kan användas.

x2-x-2 ska det bli tydligen men förstod inte riktigt varför. Rörigt.

Jag som krånglar säkert men vill bara förstå.

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 13:53

När vi utvecklar parenteserna ska allt i vänstra parentesen multipliceras med allt i högra. Så det första x:et tar du gånger det andra x:et, och sen gånger -2. Sen tar du ettan och multiplicerar med x:et från den andra parentesen, och sen gånger -2.

(x+1)(x-2)(x+1)(x+(-2))x·x+x(-2)+1·x+1(-2)(x+1)(x-2) \\ (x+1)(x+(-2)) \\ x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)

Förenkla nu de termerna:

x·x=x2x(-2)=-2x1·x=x1(-2)=-2x\cdot x = x^2 \\ x(-2) = -2x \\ 1\cdot x = x \\ 1(-2) = -2

Lägger du ihop alla dem så får du...?

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 14:01
Skaft skrev:

När vi utvecklar parenteserna ska allt i vänstra parentesen multipliceras med allt i högra. Så det första x:et tar du gånger det andra x:et, och sen gånger -2. Sen tar du ettan och multiplicerar med x:et från den andra parentesen, och sen gånger -2.

(x+1)(x-2)(x+1)(x+(-2))x·x+x(-2)+1·x+1(-2)(x+1)(x-2) \\ (x+1)(x+(-2)) \\ x \cdot x + x(-2) + 1\cdot x + 1 (-2)

Förenkla nu de termerna:

x·x=x2x(-2)=-2x1·x=x1(-2)=-2x\cdot x = x^2 \\ x(-2) = -2x \\ 1\cdot x = x \\ 1(-2) = -2

Lägger du ihop alla dem så får du...?

x2-x-2 eller?

x2

-2x+x=x så borde bli x2-x-2 va?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 14:04

Jupp! Så nu har du förenklat integranden. Nästa steg är att hitta en primitiv funktion. Frågan är alltså: vad deriveras till x2-x-2x^2 - x - 2?

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 14:08 Redigerad: 20 mar 2020 14:10
Skaft skrev:

Jupp! Så nu har du förenklat integranden. Nästa steg är att hitta en primitiv funktion. Frågan är alltså: vad deriveras till x2-x-2x^2 - x - 2?

2x-1-2x eller?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 14:10 Redigerad: 20 mar 2020 14:10

Nej, nu har du deriverat. Vi ska inte derivera x2-x-2x^2 - x - 2, vi ska hitta den funktion som deriveras till x2-x-2x^2 - x -2.

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 14:13
Skaft skrev:

Nej, nu har du deriverat. Vi ska inte derivera x2-x-2x^2 - x - 2, vi ska hitta den funktion som deriveras till x2-x-2x^2 - x -2.

Osäker faktiskt nu

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 14:19

Jag föreslår att du bläddrar tillbaka till avsnittet om primitiva funktioner. Eftersom du behöver använda dem när du löser integraler blir det väldigt mycket på en gång annars.

Men kom ihåg att när du deriverar x2x^2 så tar du ner exponenten, och minskar exponenten med 1: 2x12x^1. Därför måste det som deriveras till x2x^2 ha en exponent som är 1 större, så att den kan minskas till 2: x3x^3. Men, derivatan av x3 är 3x23x^2, trean plockas ju ner. Därför måste den trean divideras bort! Alltså är x33\frac{x^3}{3} en primitiv funktion till x2x^2. Prova själv att derivera den och kontrollera att du får x2.

Sen kan man använda samma "baklängestänk" på de andra två termerna. Boken har säkert några "baklängesderiveringsregler" också som du kan använda, men det är bra att tänka igenom de här stegen så man förstår varför det blir som det blir.

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 14:33
Skaft skrev:

Jag föreslår att du bläddrar tillbaka till avsnittet om primitiva funktioner. Eftersom du behöver använda dem när du löser integraler blir det väldigt mycket på en gång annars.

Men kom ihåg att när du deriverar x2x^2 så tar du ner exponenten, och minskar exponenten med 1: 2x12x^1. Därför måste det som deriveras till x2x^2 ha en exponent som är 1 större, så att den kan minskas till 2: x3x^3. Men, derivatan av x3 är 3x23x^2, trean plockas ju ner. Därför måste den trean divideras bort! Alltså är x33\frac{x^3}{3} en primitiv funktion till x2x^2. Prova själv att derivera den och kontrollera att du får x2.

Sen kan man använda samma "baklängestänk" på de andra två termerna. Boken har säkert några "baklängesderiveringsregler" också som du kan använda, men det är bra att tänka igenom de här stegen så man förstår varför det blir som det blir.

x33-x22-x2?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 14:35

Vad är derivatan av -x2-x^2? Blir det -2-2?

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 14:39
Skaft skrev:

Vad är derivatan av -x2-x^2? Blir det -2-2?

-2x

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 18:14

Så x33-x22-2x

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 18:40

Jepp! Nu kan du använda den primitiva funktionen du hittat för att beräkna integralens värde. Vet du hur?

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 18:41

Term1: 533-522-2×550=19,16

Term2: 033-022-2×050=0

Stämmer detta?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 18:46

Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:

x33-x22-2x05==533-522-2·5-033-022-2·019.167-0=19.167\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 18:53
Skaft skrev:

Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:

x33-x22-2x05==533-522-2·5-033-022-2·019.167-0=19.167\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167

Sweet okej. Tackar. Tog en paus och kom tillbaka och det hjälpte.

RogTheMan 173 – Fd. Medlem
Postad: 20 mar 2020 18:54
Skaft skrev:

Det är lite annorlunda notation, men värdena ser bra ut. Så här brukar man skriva det:

x33-x22-2x05==533-522-2·5-033-022-2·019.167-0=19.167\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_0^5 = \\ =\left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} - 2\cdot 5\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} - 2\cdot 0\right) \approx 19.167 - 0 = 19.167

Skriver man inte i såna hakparanteser? Eller funkar det med vanliga paranteser?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 20 mar 2020 18:59

Hakparenteser sätter man runt det uttryck man ska sätta in värden i, alltså runt den primitiva funktionen. När man sätter in värdena finns ingen anledning att använda nåt annat än vanliga parenteser.

Svara
Close