Beräkna integralen med absolutbelopp

Måla en bättre bild. Antingen blir det 3 delareor från -2 till 2 eller 2 delareor från -2 till 0 och sedan det hela gånger 2.

Taylor skrev :

Måla en bättre bild. Det blir 3 delareor.

Hur menar du att det blir 3 delareor? 

sudd skrev :

Beräkna ${\int }_{-2}^2\left|1-x^2\right|dx$

Okej när man beräknar integralen av absolutbelopp så adderar man alltså arean av de ytorna som bildas. Hur blir det när det handlar om en andragradsfunktion som i det här fallet? Går ju inte att bara dividera med 2 eftersom ytan inte delas upp av en rät linje. 

Gör som i din tidigare uppgift.

Undersök hur funktionen $|1-x^2|$ ser ut i det aktuella intervallet $-2\leq x\leq 2$.

Vid behov, dela upp integralen i flera delar:

• Där $(1-x^2)\geq 0$ gäller det att $|1-x^2|=(1-x^2)$
• Där $(1-x^2)<0$ gäller det att $|1-x^2|=-(1-x^2)$

Börja med att rita grafen till din funktion y = abs (1-x^2) för -2 <= x <= 2. Hur delar du upp arean?

Taylor skrev :

Börja med att rita grafen till din funktion y = abs (1-x^2) för -2 <= x <= 2. Hur delar du upp arean?

Ser att jag har vänt den åt fel håll. Bättre bild

Lite bättre. Nu måste du "bryta" den röda linjen pga abs-funktion. Rött får inte gå under noll.

Taylor skrev :

Lite bättre. Nu måste du "bryta" den röda linjen pga abs-funktion. Rött får inte gå under noll.

Precis gjorde fel igen upptäckte jag. så här det ska det bli. Hur skulle man kunna räkna ut arean på dessa 3 ytor? Som jag ser det är det egentligen 3 ytor där 2 har samma area. 

Area A: bas = 2 

Area B, C: bas = 1 

sudd skrev :

Precis gjorde fel igen upptäckte jag. så här det ska det bli. Hur skulle man kunna räkna ut arena på dessa 3 ytor? Som jag ser det är det egentligen 3 ytor där 2 har samma area. 

Area A: bas = 2 

Area B, C: bas = 1 

Gör på samma sätt som i din tidigare uppgift, dvs dela in integralen i flera delar.

I detta fallet blir det

1. en del från x = -2 till x = -1. Här är $|1-x^2|=-(1-x^2)=x^2-1$
2. en del från x = -1 till x = 1. Här är $|1-x^2|=(1-x^2)$
3. en del från x = 1 till x = 2. Här är $|1-x^2|=-(1-x^2)=x^2-1$

Beräkna varje integral för sig och summera sedan värdena. $I=I_1+I_2+I_3$

Yngve skrev :

Gör på samma sätt som i din tidigare uppgift: Dela in integralen i fleta delar.

Problemet är att i den tidigare uppgiften fick jag tydliga trianglar jag kunde räkna ut arean på. Här är ytorna lite annorlunda. Ska kolla vad du skev om jag fattar något. 

Som jag skrev för 20 minuter sedan har du 2 möjligheter nu: Antingen blir det 3 delareor från -2 till 2 eller 2 delareor från -2 till 0 och sedan det hela gånger 2.

sudd skrev :

Problemet är att i den tidigare uppgiften fick jag tydliga trianglar jag kunde räkna ut arean på. Här är ytorna lite annorlunda. Ska kolla vad du skev om jag fattar något. 

Jaha OK jag bara förutsatte att du visste hur du ska kunna beräkna en integrals värde. Behöver du hjälp med att komma igång med det?

Om du behöver en kort repetition av begreppen integral, primitiv funktion, övre och undre gräns samt hur dessa förhåller sig till areaberäkningar så kan du läsa om det här.

> i den tidigare uppgiften fick jag tydliga trianglar jag kunde

> räkna ut arean på. Här är ytorna lite annorlunda

https://www.pluggakuten.se/trad/berakna-integral-19/

Jo, så är det ... och hela vitsen med integralkalkylen är att beräkna sådana krångliga ytor.

Lägger du din fråga i Högskolematematik, utgår vi ifrån att du har koll på Ma5 och tidigare kurser.

Yngve skrev :

Om du behöver en kort repetition av begreppen integral, primitiv funktion, övre och undre gräns samt hur dessa förhåller sig till areaberäkningar så kan du läsa om det här.

Okej tackar bra länk. Tror jag har koll på hur man löser sånna här uppgifter nu. 

Har jag glömt något?

1. Rita grafen med hjälp av funktionen.  Tänk på att när y värdet blir negativt, så ska det göras om till positivt. 

2. De nya övre/undre gränserna fås av när grafen har en punkt där y = 0.

3. Med de nya gränsvärdena räkna ut integralerna på vanligt vis.

4. Addera sedan summan av integralerna.  

Jag förmodar att denna metod endast gäller när man ska beräkna en integral som har absolutbelopp i sig. :) 

sudd skrev :

Yngve skrev :

Om du behöver en kort repetition av begreppen integral, primitiv funktion, övre och undre gräns samt hur dessa förhåller sig till areaberäkningar så kan du läsa om det här.

Okej tackar bra länk. Tror jag har koll på hur man löser sånna här uppgifter nu. 

Har jag glömt något?

1. Rita grafen med hjälp av funktionen.  Tänk på att när y värdet blir negativt, så ska det göras om till positivt. 

2. De nya övre/undre gränserna fås av när grafen har en punkt där y = 0.

3. Med de nya gränsvärdena räkna ut integralerna på vanligt vis.

4. Addera sedan summan av integralerna.  

Nej det verkar vettigt.

Visa gärna dina uträkningar här om du vill ha mer återkoppling.