beräkna integralen

Hej

jag behöver hjälp med att beräkna följande integral:

Beräkna $\int_{0}^{π / 4} (1 + \tan^{2} x) \times \sqrt{1 - \tan^{2} x} d x$

Jag gör variabelbytet u=tanx och du= $1 + \tan^{2} x$

Då kan jag skriva det som $\int_{0}^{π / 4} \sqrt{1 - u^{2}} d u$

men jag förstår inte hur jag ska ta mig härifrån till svaret pi/4

Om x = pi/4 så är inte övre gränsen u = pi/4, utan ...

det ska väl vara $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u$

men hur ska man ta sig vidare härifrån? i facit ser jag att dom gjort ytterligare ett variabelbyte och satt u=sint och du=costdt

Integralen ska sedan bli $\int_{0}^{π / 2} \cos^{2} t d t$ men jag förstår inte hur man kommer fram till det.

Precis

u = sin(t)

du = cos(t)*dt

Hur kan rotuttrycket förenklas?

vi får ju $\sqrt{1 - \sin^{2} t}$ om man sätter in u=sint vilket vi väl kan skriva om till $\sqrt{\cos^{2} t}$ men sedan har dom ju fått bort rottecknet.

Ja, men så har du ytterligare en faktor cos(t) från du!

okej så om vi tar bort rottecknet för vi cost kvar och sedan ytterigare cost från du och därmed får vi $\cos^{2} t d t$

Svara

Visa senaste svar