Beräkna integralen

Om du delar upp integralen, 

${\int }_0^{1}x dx-{\int }_0^1\frac{x^3}{3} dx+{\int }_0^1\frac{x^5}{5} dx$

blir det lättare för dig att hitta primitiva funktioner då?

fner skrev:

Om du delar upp integralen, 

${\int }_0^{1}x dx-{\int }_0^1\frac{x^3}{3} dx+{\int }_0^1\frac{x^5}{5} dx$

blir det lättare för dig att hitta primitiva funktioner då?

Jag skrev up det sådär förut, men lyckades ändå inte klura ut hur jag skulle hitta primitiva funktionerna 

Om F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till f(x).

Det kan du utnyttja när du letar efter primitiva funktioner.

Vi börjar med den första termen x.

== Metod "Gissa/Kontrollera/Modifiera" ==

Vi gissar att en primitiv funktion till x är x².

Nu kontrollerar vi om vi gissade rätt genom att derivera vår gissning: Derivatan av x² är 2x. Det är dubbelt så stort som vi ville att det skulle vara.

Därför kompenserar vi för denna faktor 2 genom att modifiera vår gissning till x²/2.

Nu kontrollerar vi om vår nya gissning var rätt genom att derivera den: Derivatan av x²/2 är 2x/2 = x. Det är rätt!

Alltså är x²/2 en primitiv funktion till x.

Hängde du med?

Metoden är alltså att repeteta Gissa/Kontrollera/Modifiera tills vi hamnar rätt.

Pröva nu att på egen hand hitta primitiva funktioner till de andra termerna, en i taget.

Visa dina försök.

Yngve skrev:

Om F'(x) = f(x) så är F(x) en primitiv funktion till f(x).

Det kan du utnyttja när du letar efter primitiva funktioner.

Vi börjar med den första termen x.

== Metod "Gissa/Kontrollera/Modifiera" ==

Vi gissar att en primitiv funktion till x är x².

Nu kontrollerar vi om vi gissade rätt genom att derivera vår gissning: Derivatan av x² är 2x. Det är dubbelt så stort som vi ville att det skulle vara.

Därför kompenserar vi för denna faktor 2 genom att modifiera vår gissning till x²/2.

Nu kontrollerar vi om vår nya gissning var rätt genom att derivera den: Derivatan av x²/2 är 2x/2 = x. Det är rätt!

Alltså är x²/2 en primitiv funktion till x.

Hängde du med?

Metoden är alltså att repeteta Gissa/Kontrollera/Modifiera tills vi hamnar rätt.

Pröva nu att på egen hand hitta primitiva funktioner till de andra termerna, en i taget.

Visa dina försök.

Jag ger det ett försök...

Så den första primitiva funktionen va x^2/2

Den andra: (x^4/3)/4?

Den tredje: (x^6/5)/6?

Rago skrev:

Jag ger det ett försök...

Så den första primitiva funktionen va x^2/2

Ja, det stämmer.

Den andra: (x^4/3)/4?

Pröva! Vad får du om du deriverar det uttrycket?

Den tredje: (x^6/5)/6?

Pröva! Vad får du om du deriverar det uttrycket?

Yngve skrev:

Rago skrev:

Jag ger det ett försök...

Så den första primitiva funktionen va x^2/2

Ja, det stämmer.

Den andra: (x^4/3)/4?

Pröva! Vad får du om du deriverar det uttrycket?

Den tredje: (x^6/5)/6?

Pröva! Vad får du om du deriverar det uttrycket?

Jag testade detta, är det möjligtvis rätt?

I din uträkning så säger du alltså att en primitiv funktion till $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$ är $\frac{x^2}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1}{5}\cdot\frac{x^6}{6}$.

Innan du räknar vidare bör du pröva om det stämmer. Har du gjort det?

Kanske off topic, men är inte detta MacLaurin-utvecklingen av $\arctan x$? 🧐

Yngve skrev:

I din uträkning så säger du alltså att en primitiv funktion till $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$ är $\frac{x^2}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{1}{5}\cdot\frac{x^6}{6}$.

Innan du räknar vidare bör du pröva om det stämmer. Har du gjort det?

Ja och det såg ut att stämma om jag inte har räknat fel

Då behöver du öva på att lontrollera dina förslag på primitiva funktioner.

Visa hur du gjorde kontrollen så hjälper vi dig att hitta feltänket/felräknamdet