beräkna integralen

Hej

jag behöver hjälp med att komma vidare i lösningen till uppgiften:

Beräkna $\int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x} (x + 1)} d x$

Jag började med att skriva om till $\int_{0}^{b} \frac{1}{\sqrt{x} (x + 1)} d x$

och sedan utföra variabelbytet:

$t = \sqrt{x} d t = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

I nästa steg ska vi få integralen:

$2 \int_{0}^{\sqrt{b}} \frac{1}{t^{2} + 1}$ men när jag försökte fick jag $2 \int_{0}^{\sqrt{b}} \frac{1}{t (t^{2} + 1)}$ jag förstår inte vad som hände med det t som står framför parentesen?

Ja tänk på uttrycket för dx. Ditt framräknade dt är inte komplett.

Hej!

När $t = \sqrt{x}$ så blir derivatan

$\frac{\text{d}t}{\text{d}x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2t}\ .$

Integralen kan därför skrivas

$\int \frac{1}{t(t^2+1)}2t\,\text{d}t = 2 \cdot \int \frac{1}{t^2+1}\,\text{d}t$

så att det sökta talet fås via $\arctan$ -funktionen till

$2 \cdot (\frac{\pi}{2} - 0) = \pi\ .$

Albiki

men jag förstår fortfarande inte riktigt hur man ska göra med det t vi har framför parentesen. $2 (\frac{π}{2} - 0)$ får vi väl från 2arctan, och därmed svaret pi, men varför försvinner t framför parentesen?

Tänk på att $d x = 2 \cdot t \cdot d t$ så att du får t i täljaren att förkorta mot.

Hej!

Det gäller att $\frac{t}{t} = 1$ och när man multiplicerar något med $1$ så syns det inte i redovisningen.

$1 \cdot \frac{1}{t^2+1} = \frac{1}{t^2+1}\ .$

Albiki

Svara

Visa senaste svar