beräkna integralen

Hej

jag har fastnat på följande uppgift där jag ska beräkna en integral

$\int_{1}^{2} \frac{x \ln x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

ska man dela upp den först i två delar så att man får $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} + \int \frac{\ln x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$ och sedan göra ett variabelbyte $t = (1 + x^{2}) d t = 2 x d x$

då får vi $\frac{1}{2} \frac{\ln x}{t^{2}}$ men sen vet jag inte hur jag ska ta mig vidare. Svaret ska vara $\frac{13}{20} \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 5$

Det luktar partialintegration om den där, och så får du ett bråk som du får dela upp som en summa på slutet. En skiss:

$\int_{1}^{2} \frac{x \ln (x)}{(x + x^{2})^{2}} = \int_{}^{} f G$ från $(F G)' = f G + F g$ , dvs $G = \ln (x)$ och F är då lätt att hitta.

På slutet blir du sittande med en integrand med $\frac{1}{x (1 + x^{2})}$ som du skriver om som $\frac{1}{x} - \frac{x}{(1 + x^{2})}$ . Sen är det ganska rättframt vad jag kan se. Kolla om du kommer framåt den vägen.

Svara