Beräkna integralen

Uppgiften är att beräkna integralen för

$\int_{0}^{π / 2} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$

Och jag har kört fast totalt

Tipset att utföra variabelbytet t = tan(x/2) ges som ledning. Detta gör jag i mina beräkningar men misslyckas egentligen brutalt med att inse hur det ska hjälpa mig.
Här är mina beräkningar: (ursäkta dålig bildkvalité)

Jag hoppas beräkningarna syns.
Facit ger svaret $\frac{π}{2} - 1$ . Jag har testat fler metoder än den här fast de blev ännu mer fel.
Sitter helt fast, och all hjälp uppskattas!

Substitutionen tan(x/2)=t är en riktig storslägga vid dessa integraler. Mycket riktigt är dx/dt=2/(1+t^2). Nu måste du uttrycka cos(x) i t, vilket görs med hjälp av cos(x)=cos^2(x/2))-sin^2(x/2)=2cos^2(x/2)-1 (formeln för dubbla vinkeln). Då tan(x/2)=t blir cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2), vilket jag hoppas du kan visa. Gränserna i t-variabeln blir 0 och 1.

Sätt in allt i integralen så får du efter lite räkningar $\int_{0}^{1} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} d t = \int_{0}^{1} [- 1 + \frac{2}{1 + t^{2}}] d t = \frac{π}{2} - 1$

Hej Lars

Tack för så snabbt svar!
Det var det här "lite räkningar som var problemet", men med ledtråden där lyckades jag till slut.
+1-1 så gick det ihop till slut!
Tusen tack!

Svara