Beräkna integralen.

Hej!

Jag håller på med en uppgift som jag har fastnat på.

Frågan lyder:

Såhär tänkte jag:

Jag började med att rita upp området som är givet i frågan.

Därefter skrev jag om dubbel integralen till polär koordinater.

$x = r \cos θ y = r \sin θ d ä r \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2} o c h 0 \leq r \leq 1$

Integralen ser då ut som: $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (r^{3} \sin^{2} θ \cos θ + r^{2} \cos^{2} θ) r d r d θ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (r^{4} \sin^{2} θ \cos θ + r^{3} \cos^{2} θ) d r d θ$ .

Jag vet inte hur jag ska fortsätta härifrån.

Integrera först med avseende på $r$ (d.v.s. låtsas att $\theta$ är konstant). Integrera därefter med avseende på $\theta$ .

Okej, då kom jag fram till det här:

$\int_{0}^{1} (r^{4} \sin^{2} θ \cos θ + r^{3} \cos^{2} θ) d r = {[\frac{r^{5} \sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{r^{4} \cos^{2} θ}{4}]}_{0}^{1} = \frac{\sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{\cos^{2} θ}{4}$

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\frac{\sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{\cos^{2} θ}{4}) d θ =$

Detta blir ändå svårt att integrera.

Ett tips är att skriva om integralen som:

Dvs summa av två "separabla" integraler, då kan man hantera det som 4 separata enklare integraler och gångra och plussa ihop. Men du kommer ändå behöva primitiv funktion till sin^2(x)cos(x) och cos^2(x) som kan vara svåra att hitta om det är första gången man ser det men är nåt man ska kolla upp och kunna i en sådan här kurs.

ogrelito skrev:
Okej, då kom jag fram till det här:
$\int_{0}^{1} (r^{4} \sin^{2} θ \cos θ + r^{3} \cos^{2} θ) d r = {[\frac{r^{5} \sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{r^{4} \cos^{2} θ}{4}]}_{0}^{1} = \frac{\sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{\cos^{2} θ}{4}$
$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\frac{\sin^{2} θ \cos θ}{5} + \frac{\cos^{2} θ}{4}) d θ =$
Detta blir ändå svårt att integrera.

Det här är såna här klassiska integraler som ser svåra ut, men blir enkla när man kan tricket. Dela upp i två integraler så får du:

$\displaystyle\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{5}\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\ d\theta+\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{4}\cos^2\left(\theta\right)\ d\theta$

Den vänstra löses med substitutionen $u=\sin(\theta)$ , och den andra löses med omskrivningen:

$\cos^2\left(\theta\right)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}$ .

Jag rekommenderar att du lägger dessa två trick på minnet.

Tack för hjälpen och tipsen!

såhär gjorde jag:

$\frac{1}{5} \int_{π / 4}^{π / 2} \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ + \frac{1}{4} \int_{π / 4}^{π / 2} \cos^{2} (θ) d θ v i u t f ö r v a r i a b e l s u b s t i t u t i o n f ö r d e n v ä n s t r a i n t e g r a l e n \sin (θ) = u \cos (θ) d θ = d u \Rightarrow d θ = \frac{d u}{\cos (θ)} θ = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 1, θ = \frac{π}{4} \Rightarrow u = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{5} \int_{π / 4}^{π / 2} \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ = \frac{1}{5} \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} u^{2} d u = \frac{1}{5} {[\frac{u^{3}}{3}]}_{1 / \sqrt{2}}^{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{6 \sqrt{2}}) = \frac{6 \sqrt{2} - 3}{90 \sqrt{2}} F ö r h ö g r a i n t e g r a l e n g ö r v i : \cos^{2} (θ) = \frac{\cos (2 θ) + 1}{2} \frac{1}{4} \int_{π / 4}^{π / 2} \cos^{2} (θ) d θ = \frac{1}{4} \int_{π / 4}^{π / 2} \frac{\cos (2 θ) + 1}{2} d θ = \frac{1}{8} \int_{π / 4}^{π / 2} (\cos (2 θ) + 1) d θ = \frac{1}{8} {[\frac{\sin (2 θ)}{2} + θ]}_{π / 4}^{π / 2} = \frac{1}{8} (\frac{π}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{π}{4})) = \frac{1}{8} (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{π - 2}{32} \frac{1}{5} \int_{π / 4}^{π / 2} \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ + \frac{1}{4} \int_{π / 4}^{π / 2} \cos^{2} (θ) d θ = \frac{6 \sqrt{2} - 3}{90 \sqrt{2}} + \frac{π - 2}{32}$

Har jag gjort rätt?

Svara

Visa senaste svar