Beräkna integral utan att använda analysens fundamentalsats.

Hej!

Här är en liten kluring angående integraler som jag kom på i veckan:

Beräkna integralen

$\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ $\color{transparent}\dfrac{l}{l}\color{black}($ $\sin(\sqrt[3]{x})$ $+\dfrac{1}{\pi})\sqrt{2-x^2}\ dx$

utan att använda analysens fundamentalsats.

Notera att eventuella följdsatser till analysens fundamentalsats får användas, det är enbart analysens fundamentalsats (det som står under 'Formal statements' här) som inte får användas.

Det går med lite geometri i kombination med ett ibland användbart trick för att beräkna en viss typ av integraler på en viss typ av intervall.

Integranden $(\sin x^{1/3})\sqrt{2-x^2}$ är en udda funktion vilket gör att den sökta integralen är lika med

$\frac{1}{\pi}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}\,dx = 1$ .

Kan tillägga att funktionen:

$y=\sqrt{2-x^2}$ kan skrivas på formen:

$y^2=(\sqrt2)^2-x^2\Rightarrow$

$x^2+y^2=(\sqrt2)^2$

Integrationsgränserna ger att integralen, den som Albiki har på slutet, blir:

$\frac{1}{\pi}\cdot A_{halvcirkel}=$

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} \cdot π r^{2} = 1$

Japp, det var lösningen jag också tänkte mig. Kanske lite väl enkelt för så erfarna matematiker som ni... :-)

Svara

Visa senaste svar