Beräkna integral, gaussian från -inf till inf

Hej!

Steg 1. Kvadratkomplettera exponenten.

    $0.5t^2+i\omega t = 0.5(t+i\omega)^2 + 0.5\omega^2$

Steg 2. Bryt ut $e^{0.5\omega^2}$ utanför $t$-integralen.

Steg 3. Notera att derivatan av $e^{0.5(t+i\omega)^2}$ med avseende på $t$ är lika med ... (vad?)

Albiki

Jag tror att du ska känna till vad Fourier transformen för $e^{-t^2/2}$ är. Annars får du slå upp den i en tabell. För som du säger, du har att

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }t{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt={\left[-e^{-t^2/2}{e}^{-iwt}\right]}_{-\infty }^{\infty }-iw{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt \\ = -iw{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt \end{gathered}$$

Albiki skrev :

Hej!

Steg 1. Kvadratkomplettera exponenten.

    $0.5t^2+i\omega t = 0.5(t+i\omega)^2 + 0.5\omega^2$

Steg 2. Bryt ut $e^{0.5\omega^2}$ utanför $t$-integralen.

Steg 3. Notera att derivatan av $e^{0.5(t+i\omega)^2}$ med avseende på $t$ är lika med ... (vad?)

Albiki

Hej!
Tack för era svar! 
Dock förstår jag inte hur jag ska gå vidare :/ 

Borde inte exponenten (som du skrev i Steg 2) vara negativ?

Varför är det intressant att kolla derivatan (Steg 3)? man får ju ändå ut en inre derivata i*w (det som är inringat i bilden), vad gör man med denna?

Stokastisk skrev :

Jag tror att du ska känna till vad Fourier transformen för $e^{-t^2/2}$ är. Annars får du slå upp den i en tabell. För som du säger, du har att

$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }t{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt={\left[-e^{-t^2/2}{e}^{-iwt}\right]}_{-\infty }^{\infty }-iw{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt \\ = -iw{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-iwt}dt \end{gathered}$$

Tack! Det var exakt sådär jag började göra. Avslutade när jag insåg att jag inte visste hur man ska räkna ut sista integralen (ditt sista led). Kan absolut slå upp fouriertransformen för gaussianen men undrar hur man ska gå tillväga för att beräkna integralen för hand (ifall man inte har tillgång till fouriertransform-tabell) :)

Ok, ett sätt är att låta

$f\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-i\omega t}dt$

Då är

$f\text{'}\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }-it{e}^{-t^2/2}{e}^{-i\omega t}dt=-\omega {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}{e}^{-i\omega t}dt=-\omega f\left(\omega \right)$

Där steget mellan integralerna följer av härledningen jag nyss skrev. Därför uppfyller $f(\omega)$ diff ekvationen 

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(\omega \right)+\omega f\left(\omega \right) =\hspace{0.17em}0 \\ \frac{d}{d\omega }\left(e^{{\omega }^2/2}f\left(\omega \right)\right)=0 \\ f\left(\omega \right) =\hspace{0.17em}C{e}^{-{\omega }^2/2} \end{gathered}$$

Nu behöver vi bara bestämma $f(0)$ och detta är den klassiska Gauss integralen

$f\left(0\right) =\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi }$

Därför är $C = \sqrt{2\pi}$ och man får att

$f(\omega) = \sqrt{2\pi} e^{-\omega^2/2}$