Beräkna integral

Hej,

jag ska beräkna integralen ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$

Såhär gjorde jag:

 $$\begin{gathered} {\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}{e}^{\sin x}\sin 2xdx ={\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}{e}^{\sin x}\sin x\cos xdx \\ \left[\begin{array}{cc}t=\sin x& x=arc\sin t\\ \frac{dt}{dx}=\cos x& dt=\cos x dx \\ {t}_{0_{}1}=\sin \left(0\right)=0 , t_2=\sin (\mathrm{\pi }/2)=1\end{array}\right]= \\ {\int }_0^1{e}^{t}t dt =\left[e^{t}t\right]-{\int }_0^{1}1*e^{t}dt = \\ {{\left[e^{t}t\right]}^1}_0-{{\left[e^t\right]}^1}_0={{\left[e^t(t-1)\right]}^1}_0= \\ ={{\left[e^{\sin x}(\sin x-1)\right]}^{\mathrm{\pi }/2}}_0= \\ =e^{\mathrm{sin\pi }/2}\left(\sin \right(\pi /2) -1)-e^{\sin 0}(\sin 0-1)= \\ =(e^1*0)-(e^0*-1)=1 \end{gathered}$$

Svaret är fel, men vet inte vart det kan vara. Gjorde alltså först variabelbyte och partialintegrerade sen.