Beräkna integral

Du kan använda partialbråksuppdelning för att splitta bråket, och därmed integralen, till två enklare.

Har förstått enligt facit, att det går att skriva som (2/x-2)-(1/x+1), men förstår inte hur det går till.

Står inget i boken om den typen av uppdelning. 

Hur ska man veta att man ska använda partialbråksuppdelning?

När du kan faktorisera nämnaren på det sättet det står i den här uppgiften är det smidigt att partialbråksuppdela. 

$\frac{x+4}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$

Det gäller att bestämma A och B. För att bestämma t.ex A multiplicerar du alla led med (x-2) och låter x-->2 eftersom x-2=0 ger x=2.

$\frac{x+4}{(x+1)}=A+\frac{B(x-2)}{x+1}$

$\frac{2+4}{2+1}=A+\frac{B(2-2)}{2+1}$

A=6/3=2

Hm, låter taskigt. Det är enklare än det låter, men det är knappast något de flesta kommer på utan att ha sett det någon annanstans först.

Men notera att nämnaren har två faktorer, x-2 och x+1. Tänk dig att du hade två separata bråk med dessa nämnare, typ $\frac{5}{x-2} + \frac{3}{x+1}$. Om du slår ihop dessa till ett enda bråk, hur ser resultatet ut? Jo, vänstra bråket förlängs med x+1, och högra med x-2. Det hopslagna bråket får den gemensamma nämnaren (x-2)(x+1). Vilket är precis nämnaren i ditt bråk.

Vi kan därför anta att det finns två sådana bråk som blir ditt, när man adderar dom. Vi behöver bara lista ut vad deras täljare är. Så vi kallar dem t.ex. a och b:

$\dfrac{x+4}{(x-2)(x+1)} = \dfrac{a}{x-2} + \dfrac{b}{x+1}$

Gör nu hopslagningen: vänstra bråket förlängs med x+1, högra med x-2, addera sen bråken. I täljaren har du då ett uttryck i a och b, som du vet ska vara lika med x+4. Då kan du lägga ihop x-termer för sig, och konstanter för sig, och lösa ut a och b med ett ekvationssystem.

Hur får jag reda på detta?

Står som sagt inget i boken. 

Varför ha uppgifter som inte går att lösa utan externa formler?

EDIT. ursäkta dubbelpost.

Jag förstår i stora drag hur det går till!

Stort Tack för hjälpen!

Vilken Ma5-bok har du, där detta ingår? På min skola använder vi Matematik 5000, och där ingår inte partialbråksuppdelning.

Jag använder också Matematik 5000, och uppgiften fanns under blandade övningar 1-3.

Knepigt att ha uppgifter, som inte finns förklaringar till, tycker jag.

OK, då har jag missat den uppgiften. Har inte boken tillgänglig just nu.