Beräkna integral

Här skulle jag använda variabelbytet u=x,v=y+z, w=z för att få enklare gränser.

Edit: Man ser efter att stirra lite på olikheterna att y måste vara identiskt lika med 0

parveln skrev:

Här skulle jag använda variabelbytet u=x,v=y+z, w=z för att få enklare gränser.

 

Edit: Man ser efter att stirra lite på olikheterna att y måste vara identiskt lika med 0

vad är skillnaden mellan identisk lika med 0, och bara vanligt "Lika med 0" ?
ska man använda funktionaldeterminanten då också?

Identiskt lika med 0 betyder att den alltid är lika med 0. Om du hade gjort variabelbytet hade du varit tvungen att räkna ut funktionaldeterminanten, men eftersom y inte ändras någonting har vi en trippelintegral över en "platt" yta och integralen blir därför noll.

parveln skrev:

Identiskt lika med 0 betyder att den alltid är lika med 0. Om du hade gjort variabelbytet hade du varit tvungen att räkna ut funktionaldeterminanten, men eftersom y inte ändras någonting har vi en trippelintegral över en "platt" yta och integralen blir därför noll.

Så svaret blir bara kort och kort; 0 ???

Ja, om jag inte har helt fel. Anledningen att y är identiskt 0 är olikheterna $y\ge 0$samt $y+z\le z\iff y\le 0$

parveln skrev:

Ja, om jag inte har helt fel. Anledningen att y är identiskt 0 är olikheterna $y\ge 0$samt $y+z\le z\iff y\le 0$

Jaha okej. jag fattar. Men om jag skulle vilja räkna ut den. Skulle det bli då

u = x ---> dx = du
v = y+z ---> dy = dv
w=z ---> dz= dw

eller?

& vi får 0 <= u <= v <= w <= 1

så då kan jag beräkna att

$u \in [0,v]$

$v \in [u,w]$

$w \in [0,1]$

eller 

parveln skrev:

Här skulle jag använda variabelbytet u=x,v=y+z, w=z för att få enklare gränser.

 

Edit: Man ser efter att stirra lite på olikheterna att y måste vara identiskt lika med 0

Det står inte att y inte får vara negativ. Punkten (0,1; -0,5; 0,7) tilhör t.ex. området.

Varför vill du krångla till saker hela tiden? Det är många trådar där du har fått rådet "Gör si-si-och-så" och du svarar "men om jag vill göra så här istället?".

Smaragdalena skrev:

Varför vill du krångla till saker hela tiden? Det är många trådar där du har fått rådet "Gör si-si-och-så" och du svarar "men om jag vill göra så här istället?".

Ja jag tänker vad det är jag gör för fel när jag vill (?) göra på mitt sätt. Så jag kan lära mig av mina misstag. Men såklart jag tar era förslag också. 

Laguna skrev:

parveln skrev:

Här skulle jag använda variabelbytet u=x,v=y+z, w=z för att få enklare gränser.

 

Edit: Man ser efter att stirra lite på olikheterna att y måste vara identiskt lika med 0

Det står inte att y inte får vara negativ. Punkten (0,1; -0,5; 0,7) tilhör t.ex. området.

Det är sant, jag läste alldeles för snabbt. Det är ju y+z som måste vara större än 0. Då verkar variabelbytet vara en bättre idé

Jaha okej. jag fattar. Men om jag skulle vilja räkna ut den. Skulle det bli då

u = x ---> dx = du
v = y+z ---> dy = dv
w=z ---> dz= dw

eller?

& vi får 0 <= u <= v <= w <= 1

så då kan jag beräkna att

$u \in [0,v]$

$v \in [u,w]$

$w \in [0,1]$

 

eller 

Nej, man kan inte göra som i envariabelanalysen och "lösa ut" dw, dv och du. Man måste ställa upp hela funktionaldeterminanten. Sedan när man har sin trippelintegral så delar man upp den i en enkelintegral som antingen står ytterst eller innerst samt en dubbelintegral. Låt oss börja med funktionaldeterminanten(https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant). Vi måste först lösa ut x,y,z i termer av u,v,w. Efter lite räkning fås x=u, y=v-w,z=w. Nu kan vi ta reda på determinanten(egentligen absolutbeloppet av determinanten). J(u,v,w)=$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1$. Alltså behöver vi inte justera vår trippelintegral någonting. Integranden måste också skrivas om, men det är inga problem eftersom vi redan löst ut alla variabler. Nu kan vi skriva området som $D=\left\{(u,v,w\in {\mathrm{ℝ}}^3: 0\le u\le v\le w\le 1\right\}$. 

Nu kan vi välja att integrera enkelt med avseende på t ex v, men det spelar inte så stor roll. Låt oss sätta enkelintegralen innerst. Den får då gränserna [u,w]. Då får vi dubbelintegralen ytterst och den ska integreras över kroppens projektion i uw-planet, dvs området $E=\left\{(u,w): 0\le u\le w\le 1\right\}$, vi kan skriva om denna mängden som $E=\left\{(u,w): 0\le u\le 1, u\le w\le 1\right\}$.

Till slut får vi alltså integralen $\left({\int }_0^1\right({\int }_u^1\left({\int }_u^w{u}^{2}w\right(v-w)dv)dw)du)$