Beräkna integral

Hej

jag har en uppgift som jag kommit en bit på väg med men skulle nu behöva lite hjälp.

Låt $\vec{F} (x, y) = (x^{2} y, - x y^{2})$ och beräkna $\oint_{γ} \overset{⇀}{F} * d \overset{⇀}{r}$ där $γ$ är den medurs orienterade randen till området $0 \leq γ \leq \sqrt{9 - x^{2}}$

Jag antar att det första steget blir att vi ska beräkna den stängda integralen F runt området D som kan definieras som $D = \{(x, y) : 0 \leq y \leq \sqrt{9 - x^{2}}\}$

Sedan kan man väl integrera $\oint F * d r = \oint (x^{2} y - y^{2} x) d x d y = \oint x^{2} y d x - y^{2} x d y$ men hur ska man gå vidare nu? man ska använda sig av Greens formel för att lösa uppgiften.

eftersom vi ska rotera medurs, ska man inte byta tecken på integralen också så att vi får $- \oint F * d r = - \oint (x^{2} y - y^{2} x) d x d y$ ?

Sedan hade jag tänkt att använda mig av Stokes sats och sätta $- \int_{D} P_{d x} + Q_{d y} = - \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ men jag är inte helt säker på att det är rätt väg att gå.

Svara