Beräkna Integral

sudd skrev :

Uppgift: Beräkna ${\int }_0^{1}x(1-2x{)}^{3}dx$

 

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}x(1-2x{)}^{3}dx = \left[\begin{array}{c}t=1-2x\\ dt=-2dx\\ dx=-\frac{dt}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x=\frac{1-t}{2}\end{array}\right]= \\ \frac{1}{4}{\int }_b^a(t-1)t^{3}dt \end{gathered}$$

 

Som jag förstår ska man ändra integrationsområdet efter man gör variabelsubstitution. Hur ska man tänka för att få fram de nya gränsvärdena, a och b? 

Om du gör den substitutionen så gäller det ju att $t=1-2x$.  Det betyder att

• för undre gränsen, då $x=0$ så är $t=1-2\cdot 0=1$
• för övre gränsen, då $x=1$ så är $t=1-2\cdot 1=-1$

På den här uppgifen skulle jag multiplicera ihop helaintegranden och få en funktion som bara består av en summma av potenser och som är lätt att integrera.

Yngve skrev :

sudd skrev :

Uppgift: Beräkna ${\int }_0^{1}x(1-2x{)}^{3}dx$

 

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}x(1-2x{)}^{3}dx = \left[\begin{array}{c}t=1-2x\\ dt=-2dx\\ dx=-\frac{dt}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x=\frac{1-t}{2}\end{array}\right]= \\ \frac{1}{4}{\int }_b^a(t-1)t^{3}dt \end{gathered}$$

 

Som jag förstår ska man ändra integrationsområdet efter man gör variabelsubstitution. Hur ska man tänka för att få fram de nya gränsvärdena, a och b? 

Om du gör den substitutionen så gäller det ju att $t=1-2x$.  Det betyder att

• för undre gränsen, då $x=0$ så är $t=1-2\cdot 0=1$
• för övre gränsen, då $x=1$ så är $t=1-2\cdot 1=-1$

Okej tackar då vet jag hur man ska tänka. :) 

Smaragdalena skrev :

På den här uppgifen skulle jag multiplicera ihop helaintegranden och få en funktion som bara består av en summma av potenser och som är lätt att integrera.

Hmm kan du visa matematiskt hur du tänker? :)

sudd skrev :

Smaragdalena skrev :

På den här uppgifen skulle jag multiplicera ihop helaintegranden och få en funktion som bara består av en summma av potenser och som är lätt att integrera.

Hmm kan du visa matematiskt hur du tänker? :)

Eftersom $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ (se kuberingsreglerna) så är

$(1-2x)^3=1^3-3\cdot 1^2\cdot (2x)+3\cdot 1\cdot (2x)^2-(2x)^3=$

$=1-6x+12x^2-8x^3$

Multiplicera sedan in x och integrera.

Yngve skrev :

sudd skrev :

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev :

På den här uppgifen skulle jag multiplicera ihop helaintegranden och få en funktion som bara består av en summma av potenser och som är lätt att integrera.

Hmm kan du visa matematiskt hur du tänker? :)

Eftersom $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ (se kuberingsreglerna) så är

$(1-2x)^3=1^3-3\cdot 1^2\cdot (2x)+3\cdot 1\cdot (2x)^2-(2x)^3=$

$=1-6x+12x^2-8x^3$

Multiplicera sedan in x och integrera.

Ja okej då är jag med. :)

I exemplet ovan där gräsen blev ${\int }_1^{-1}$ antar jag att man vill ändra till ${\int }_{-1}^1$ så man får det större värdet längst upp.  Kan man ändra bara så där eller behöver man ändra något annat hos funktionen då?

Nej, räkna så som du ha rkommit fram till, eller byt plats på både integrationsgränserna och över/underfunktion. Rita, så förstår du vad jag menar! Men du krånglar till det väldigt mycket om du gör på det sättet istället för att multiplicera ihop som jag skrev tidigare.

Smaragdalena skrev :

 byt plats på både integrationsgränserna . Rita, så förstår du vad jag menar! 

Ja det det där undrar jag över. Hur kan man göra det?

Har du ritat?

Smaragdalena skrev :

Har du ritat?

Nej känner inte att jag behöver rita för min egen skull på den här uppgiften. :) Men det verkar bara vara att multiplicera med -1 för att byta plats på integrationsgränserna? Stämmer detta? I så fall får jag:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}{\int }_1^{-1}\left(t^4-t^3\right)dt \\ -\frac{1}{4}{\int }_{-1}^1\left(t^4-t^3\right)dt \\ -{\frac{t^5}{20}}_{-1}^1 + \frac{1}{4}{\int }_{-1}^1{t}^3 dt \\ -{\frac{t^5}{20}}_{-1}^1 = \left(-\frac{1}{20}-\left(-\frac{1^5}{20}\right)\right)=\frac{1}{10} \end{gathered}$$

För integralen ${\int }_{-1}^1{t}^3 dt$ kan man enligt Wolfram tydligen veta att  ${\int }_{-1}^1{t}^{3}dt = 0$ utan att räkna  eftersom "$t^3$ is an odd function and the interval [-1,1] is symmetric about 0"

Förstår inte riktigt kan någon utveckla detta resonemang lite mera?

sudd skrev :

Smaragdalena skrev :

 byt plats på både integrationsgränserna . Rita, så förstår du vad jag menar! 

Ja det det där undrar jag över. Hur kan man göra det?

Om du byter plats på integrationsgränserna (byter integrationsriktning) så ändras integralens tecken, dvs ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$. 

Yngve skrev :

sudd skrev :

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev :

 byt plats på både integrationsgränserna . Rita, så förstår du vad jag menar! 

Ja det det där undrar jag över. Hur kan man göra det?

Om du byter plats på integrationsgränserna (byter integrationsriktning) så ändras integralens tecken, dvs ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$. 

Okej tackar Yngve. Vet du varför man direkt kan se att${\int }_{-1}^1{t}^3 dt$ = 0? Det ska ha att göra med att funktionen är udda tydligen. 

sudd skrev :Okej tackar Yngve. Vet du varför man direkt kan se att${\int }_{-1}^1{t}^3 dt$ = 0? Det ska ha att göra med att funktionen är udda tydligen. 

Om du har en integral $I={\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx$ så kan du dela upp den i två integraler på följande sätt: $I=I_1+I_2$, där $I_1={\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx$ och $I_2={\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$.

Om vi nu fokuserar en stund på $I_1$ och gör variabelsubstitutionen $x=-t$ så får vi att $dx=-dt$, $x=-a\Rightarrow t=a$ och $x=0\Rightarrow t=0$. Vi har alltså att $I_1={\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx=-{\int }_a^{0}f(-t)dt$.

Eftersom f(x) är udda så gäller att f(-t) = -f(t). Detta ger oss att $I_1={\int }_a^{0}f\left(t\right)dt=-{\int }_0^{a}f\left(t\right)dt$.

Nu kan vi göra en rak substitution tillbaka till x: {t = x innebär att dt = dx, t = 0 -> x = 0 och att t = a -> x = a}.

Vi får då att $I_1=-{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$.

Om vi nu sätter ihop $I_1$ och $I_2$ igen så får vi att $I_1$ och $I_2$ "tar ut" varandra, dvs $I=I_1+I_2=-{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx=0$, vilket skulle visas.

---------------------

---------------------

Relaterat till detta så behöver du bara ändra på ett ställe i detta resonemang för att visa att en integral av en jämn funktion över ett symmetriskt intervall är lika med 2 gånger integralen av samma funktion över ena halvan av intervallet, dvs ${\int }_{-a}^{a}g\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}g\left(x\right)dx$ om g(x) är en jämn funktion. Ser du var du då ska ändra?

Partiell integration är annars ett alternativ:

$f(x) = (1-2x)^3 \Rightarrow$

$F(x) = \frac{(1-2x)^4}{4\cdot (-2)}$

$g(x) = x \Rigtarrow g'(x) = 1$

$\int_0^1 f(x)g(x) dx =$

$\[ F(x)g(x)\]_0^1 - \int_0^1 F(x)\cdot g'(x) dx$

Yngve skrev :

sudd skrev :Okej tackar Yngve. Vet du varför man direkt kan se att${\int }_{-1}^1{t}^3 dt$ = 0? Det ska ha att göra med att funktionen är udda tydligen. 

Om du har en integral $I={\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx$ så kan du dela upp den i två integraler på följande sätt: $I=I_1+I_2$, där $I_1={\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx$ och $I_2={\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$.

 

Om vi nu fokuserar en stund på $I_1$ och gör variabelsubstitutionen $x=-t$ så får vi att $dx=-dt$, $x=-a\Rightarrow t=a$ och $x=0\Rightarrow t=0$. Vi har alltså att $I_1={\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx=-{\int }_a^{0}f(-t)dt$.

 

Eftersom f(x) är udda så gäller att f(-t) = -f(t). Detta ger oss att $I_1={\int }_a^{0}f\left(t\right)dt=-{\int }_0^{a}f\left(t\right)dt$.

Nu kan vi göra en rak substitution tillbaka till x: {t = x innebär att dt = dx, t = 0 -> x = 0 och att t = a -> x = a}.

Vi får då att $I_1=-{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$.

 

Om vi nu sätter ihop $I_1$ och $I_2$ igen så får vi att $I_1$ och $I_2$ "tar ut" varandra, dvs $I=I_1+I_2=-{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx=0$, vilket skulle visas.

---------------------

---------------------

Relaterat till detta så behöver du bara ändra på ett ställe i detta resonemang för att visa att en integral av en jämn funktion över ett symmetriskt intervall är lika med 2 gånger integralen av samma funktion över ena halvan av intervallet, dvs ${\int }_{-a}^{a}g\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}g\left(x\right)dx$ om g(x) är en jämn funktion. Ser du var du då ska ändra?

wow mycket bra svar. intressant sån där bra  pedagogik får mig nästan att tycka att matte är kul, men bara nästan ;)

sudd skrev :

wow mycket bra svar. intressant sån där bra  pedagogik får mig nästan att tycka att matte är kul, men bara nästan ;)

Haha tack.

Matte är kul. I alla fall vissa delar.