Beräkna gränsvärdet till (((x+1)^(1/3))-1)/((e^x)-1) när x->0.

Jag ska beräkna gränsvärdet $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{e^{x} - 1}$ .

Om jag rotar i verktygslådan och plockar fram verktyg som jag misstänker kan komma till användning så hittar jag följande standardgränsvärden:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$

och eventuellt även

$\lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{1 / x} = e \lim_{x \to 0} x \ln x = 0 .$

Jag har stoppat in uttrycket i Mathematica och om jag skrev rätt så blev svaret

Visa spoiler

$\frac{1}{3}$

Jag har försökt att logaritmera täljare och nämnare utan att komma fram till något vettigt. Hade det varit en kvadratrot hade jag kanske kunnat förlänga med konjugatuttrycket och komma vidare men något sådant finns väl inte för en kubikrot? Det verkar som jag saknar något verktyg ev i form av potensregler, logaritmlagar eller nåt algebraiskt. Är det någon som kan peka mig i rätt riktning?

Ser (minst) två möjliga alternativ:

1) Förläng med $x$ och identifiera uttrycket som två derivator: $f'(0)\cdot \frac{1}{g'(0)}$
2) Använd nedanstående, mycket användbara, MacLaurin-utveckling:

Tack för input! MacLaurin-utveckling har vi inte kommit till än i kursen så jag sparar det för framtiden:-)!

Angående att förlänga med x så fick jag inte till det men däremot om jag förlängde med $\frac{1}{x}$ så fick jag

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}}{\frac{e^{x} - 1}{x}} = [s \tan d a r d g r ä n s v ä r d e t \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1] \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x + 1} - 1}{x}$ .

Om man sedan utnyttjar att $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ och sätter $a = \sqrt[3]{x + 1}$ och $b = 1$ kan vi förlänga med $(a^{2} + a b + b^{2})$ och får då

$\lim_{x \to 0} \frac{a^{3} - b^{3}}{x (a^{2} + a b + b^{3})} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 1 - 1}{{x (\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1} + 1)} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{{(\sqrt[3]{x + 1})}^{2} + \sqrt[3]{x + 1}) + 1} = \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$ .

Jag har inget facit men tycker det verkar rimligt. Tack för hjälpen!

Hej Jvpm!

Ser ju ut att stämma, men det blir lite smidigare/enklare beräkningar om man inser att om:

$f(x)=(1+x)^{1/3}$ så gäller att:

$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/3}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (1+x)^{-2/3}\Rightarrow$

$f'(0)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$

Hej tomast80!

Ja, det var ju en elegant lösning! Nu förstår jag vad du menade i ditt första inlägg! Tack! :-)

l'Hôpitals regel är väl också bra.

Laguna skrev:
l'Hôpitals regel är väl också bra.

Instämmer, i detta fall blir det ju samma sak som att identifiera de två derivatorna, i täljaren resp. nämnaren.

http://ingforum.haninge.kth.se/armin/ALLA_KURSER/SF1625/LHOSPITAL.pdf

Svara

Visa senaste svar