13 svar

1563 visningar

Masis behöver inte mer hjälp

Beräkna gränsvärdet när x går mot oändligheten

Hej har fått i läxa att beräkna vad gränsvärdet är för $\overset{l i m}{x \to} \infty (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^{x}$ Om man skulle knappa in detta i symbolab eller wolframalpha så blir svaret oändligheten men det är inte gränsvärdet min lärare vill att jag ska beräkna.

Sa till läraren att jag inte förstod hur jag ska göra och då sa han att det skulle vara lättast om jag skrev det så här:

" $(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^{\sqrt{x} \times \sqrt{x}} > (1 + \frac{1}{\sqrt{a}})^{\sqrt{a} \times \sqrt{x}} = ? F ö r e t t s m a r t v a l a v a$ ."

Vet inte riktigt hur jag ska få ett annat gränsvärde och har suttit och tänkt på denna uppgift i 3 dagar nu.

Även om du inte är säker så uppskattas exakt all hjälp.

Som det står så är gränsvärdet divergent och går mot exp(sqrt(x)) då x går mot oändligheten.

Dr. G skrev :
Som det står så är gränsvärdet divergent och går mot exp(sqrt(x)) då x går mot oändligheten.

Hej Dr. G jag förstår inte riktigt hur du menar.

Hej!

Läraren har förmodligen skrivit uppgiften fel. Exponenten x kanske ska vara 1/x istället?

Som Dr G skrivit är gränsvärdet divergent och går inte att få konvergent, hur du än försöker. Dessutom, om du skulle följa lärarens råd så skulle det bara vara till nytta för att visa att gränsvärdet är divergent.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Läraren har förmodligen skrivit uppgiften fel. Exponenten x kanske ska vara 1/x istället?
Som Dr G skrivit är gränsvärdet divergent och går inte att få konvergent, hur du än försöker. Dessutom, om du skulle följa lärarens råd så skulle det bara vara till nytta för att visa att gränsvärdet är divergent.
Albiki

Okej, ska se till att prata med läraren.

är du med på att

$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$

Då är även

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{\sqrt{x}} = e$

så

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{x} = \lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{\sqrt{x}}$

Dela upp problemet i två delar:

$\lim_{x \to \infty} (1)^{x} \to 1 \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x}})^{x} = \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{1}{2}})^{x} \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{x}{2}}) \to 0 (s t e n h å r t m o t n o l l : -)$

Svaret blir således : 1

Affe Jkpg skrev :
Dela upp problemet i två delar:
$\lim_{x \to \infty} (1)^{x} \to 1 \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x}})^{x} = \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{1}{2}})^{x} \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{x}{2}}) \to 0 (s t e n h å r t m o t n o l l : -)$
Svaret blir således : 1

Hej Affe!

Det verkar som att du tror att följande räkneregel gäller:

$(1+y)^x = 1^x + y^x$ .

Ville du skoja med Masis?

Albiki

Albiki skrev :
Affe Jkpg skrev :
Dela upp problemet i två delar:
$\lim_{x \to \infty} (1)^{x} \to 1 \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{x}})^{x} = \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{1}{2}})^{x} \lim_{x \to \infty} (x^{- \frac{x}{2}}) \to 0 (s t e n h å r t m o t n o l l : -)$
Svaret blir således : 1
Hej Affe!
Det verkar som att du tror att följande räkneregel gäller:
$(1+y)^x = 1^x + y^x$ .
Ville du skoja med Masis?
Albiki

Hm...ser att Dr. G hittade sanningen å jag hade fel :-)

Hej!

Kunde man inte bara skriva ${(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{x} = {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}})}^{x}$ . Då nu täljaren nu inom parentesen är större än nämnaren för x>0 så är kvoten alltid >1 och därmed går uttrycket mot $\infty$ när $x \to \infty$ . Så det måste vara fel i talet eller ...

/prcmatt

prcmatt skrev :
Hej!

Kunde man inte bara skriva ${(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{x} = {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}})}^{x}$ . Då nu täljaren nu inom parentesen är större än nämnaren för x>0 så är kvoten alltid >1 och därmed går uttrycket mot $\infty$ när $x \to \infty$ . Så det måste vara fel i talet eller ...

/prcmatt

$(\frac{\infty + 1}{\infty})^{\infty} \approx (\frac{\infty}{\infty})^{\infty}$

Skulle väl i så fall gått mot värdet 1 och inte $\infty$ .

Jag gjorde liknande tankefel.

Kolla i stället lösningen som Dr. G skrivit

pcrmatts gränsvärde går väl mot oändligheten?! Det är ju ett tal större än 1 upphöjt till jättemycket.

Affe Jkpg skrev :
prcmatt skrev :
Hej!

Kunde man inte bara skriva ${(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{x} = {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}})}^{x}$ . Då nu täljaren nu inom parentesen är större än nämnaren för x>0 så är kvoten alltid >1 och därmed går uttrycket mot $\infty$ när $x \to \infty$ . Så det måste vara fel i talet eller ...

/prcmatt
$(\frac{\infty + 1}{\infty})^{\infty} \approx (\frac{\infty}{\infty})^{\infty}$
Skulle väl i så fall gått mot värdet 1 och inte $\infty$ .
Jag gjorde liknande tankefel.
Kolla i stället lösningen som Dr. G skrivit

Hej Affe,

du kan även testa att serieutveckla, t ex Taylor mm. Jag tror fortfarande på min ansats. Om man bara tar parentesen så går den mot 1 men i och med ^x så går det mot oändligheten.

prcmatt skrev :
Hej!

Kunde man inte bara skriva ${(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{x} = {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}})}^{x}$ . Då nu täljaren nu inom parentesen är större än nämnaren för x>0 så är kvoten alltid >1 och därmed går uttrycket mot $\infty$ när $x \to \infty$ . Så det måste vara fel i talet eller ...
/prcmatt

I det här fallet stämmer ditt resonemang, men det är inte allmängiltigt. Vad blir

$\lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{\sqrt[3]{x}}$

? Med ditt resonemang så går även detta mot oändligheten, men så är väl inte fallet?

Svara

Visa senaste svar