Beräkna gränsvärdet när x går mot -8
Jag ska beräkna gränsvärdet
Jag börjar med att göra en substitution i funktionsuttrycket för att få bort 3:e-roten i nämnaren och låter , dvs , då är
Om vi ska titta på gränsvärdet när , så är motsvarande värde som t ska gå mot 2, eftersom om man sätter in i så får vi att 3:e-roten ur är
Vi kan inte substituera i funktionen eftersom den inte är definierad när nämnaren är 0, men vi kan utifrån detta nya uttryck gå vidare genom att förlänga med täljarens konjugat i både täljare och nämnare. Då får vi att
Nu undrar jag om jag är på rätt spår och vad kan jag i så fall bryta ut ur uttrycket som jag fått fram längst ner i mina uträkningar?
Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot
Svar till Affe Jkpg:
Så du menar att jag ska betrakta nämnaren som ett komplext tal?
Men är verkligen uppgiften löst fullständigt när vi har satt a + ib i nämnaren?
Skulle man sätta in så blir ju uttrycket odefinierat och så får vi ju inte ha det :-)
Men jag håller med om att det verkar vara så att gränsvärdet är 0 då
Förklara gärna ytterligare.
Och så undrar jag om det var helt onödigt att substituera så som jag gjorde?
Affe Jkpg skrev:
= 0/0.
Prova l'Hopitals regel.
Affe Jkpg:s replik är förvirrande:
Det är inte alls fråga om komplexa tal. .
Din ide att sätta är ok.
Med detta variabelbyte övergår bråket i
. Gör konjugatförlängning:
=
=. Förkorta med (t+2). Vad händer med bråket då ?
Kanelbullen skrev:Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot
I citatet ovan har jag skrivit fel. Jag har ju förutsatt att . Jag glömde visst minustecknet där.
Vad tror ni om följande lösning av uppgiften?
Jag fick bra hjälp av dr_lund. Tack för det.
Får också . Tycker det är rätt straightforward med MacLaurin-utveckling (se nedan).
Har någon en länk till där MacLaurin-utveckling förklaras närmare?
tomast80 visar tydligt, men det skulle ändå vara intressant att läsa lite mer.
Sök på taylor utveckling istället för MacLaurin eftersom MacLaurin är till för x värden nära 0
Visst är potensserieutveckling elegant -- problemet kan vara att detta begrepp inte behandlas i samband med gränsvärdesbegreppets inledande avsnitt -- varur ditt redovisade gränsvärdesproblem sannolikt är hämtat.
Tack för svar Tendo och dr_lund.
Min nivå är Matematik I (Analys) på universitetet, så dr_lund har nog rätt avseende vad jag kan utifrån kurslitteraturen.