10 svar
238 visningar
Kanelbullen behöver inte mer hjälp
Kanelbullen 356
Postad: 13 okt 2019 10:06

Beräkna gränsvärdet när x går mot -8

Jag ska beräkna gränsvärdet 

limx-8 1-x -32+x3.

Jag börjar med att göra en substitution i funktionsuttrycket för att få bort 3:e-roten i nämnaren och låter x = -t3, dvs t = -x3, då är 

1-x-32+x3 = 1+t3-32-t.

Om vi ska titta på gränsvärdet när x-8, så är motsvarande värde som t ska gå mot 2, eftersom om man sätter in x = -8-x3 så får vi att 3:e-roten ur -8 är -2.

Vi kan inte substituera t = 2 i funktionen 1+t2-32-t eftersom den inte är definierad när nämnaren är 0, men vi kan utifrån detta nya uttryck gå vidare genom att förlänga med täljarens konjugat i både täljare och nämnare. Då får vi att 

(1+t3-3)(1+t3+3)(2-t)(1+t3+3) = 1+t3-92(1+t3)+6-(t1+t3)-3t.

Nu undrar jag om jag är på rätt spår och vad kan jag i så fall bryta ut ur uttrycket som jag fått fram längst ner i mina uträkningar?

Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att x = t3 och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot -8.

Affe Jkpg 6630
Postad: 13 okt 2019 10:39

limx-81-x-32+x3=9-3a+ib=0a+ib=0

Kanelbullen 356
Postad: 13 okt 2019 11:52 Redigerad: 13 okt 2019 11:52

Svar till Affe Jkpg:

Så du menar att jag ska betrakta nämnaren som ett komplext tal?

 

Men är verkligen uppgiften löst fullständigt när vi har satt a + ib i nämnaren?

Skulle man sätta in x = -8 så blir ju uttrycket odefinierat och så får vi ju inte ha det :-)

Men jag håller med om att det verkar vara så att gränsvärdet är 0 då x -8.

 

Förklara gärna ytterligare.

Och så undrar jag om det var helt onödigt att substituera så som jag gjorde?

Laguna Online 30472
Postad: 13 okt 2019 13:34
Affe Jkpg skrev:

limx-81-x-32+x3=9-3a+ib=0a+ib=0

= 0/0.

Prova l'Hopitals regel.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 13 okt 2019 17:10 Redigerad: 13 okt 2019 17:23

Affe Jkpg:s replik är förvirrande:

Det är inte alls fråga om komplexa tal.  x3-2 då x-8.

Din ide att sätta x=t3x=t^3 är ok.

Med detta variabelbyte övergår bråket i

1-t3-3t+2\dfrac{\sqrt{1-t^3}-3}{t+2}. Gör konjugatförlängning:

1-t3-3t+2=-(t3+8)(t+2)(1-t3+3)\dfrac{\sqrt{1-t^3}-3}{t+2}=-\dfrac{(t^3+8)}{(t+2)(\sqrt{1-t^3}+3)}=

=-(t+2)(t2-2t+4)(t+2)(1-t3+3)-\dfrac{(t+2)(t^2-2t+4)}{(t+2)(\sqrt{1-t^3}+3)}. Förkorta med (t+2).  Vad händer med bråket då t-2t\rightarrow -2?

Kanelbullen 356
Postad: 13 okt 2019 20:51 Redigerad: 13 okt 2019 22:05
Kanelbullen skrev:

Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att x = t3 och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot -8.

I citatet ovan har jag skrivit fel. Jag har ju förutsatt att x=-t3. Jag glömde visst minustecknet där.

Vad tror ni om följande lösning av uppgiften?

Jag fick bra hjälp av dr_lund. Tack för det.

tomast80 4245
Postad: 13 okt 2019 22:24

Får också -2-2. Tycker det är rätt straightforward med MacLaurin-utveckling (se nedan).

Kanelbullen 356
Postad: 14 okt 2019 12:56

Har någon en länk till där MacLaurin-utveckling förklaras närmare?

tomast80 visar tydligt, men det skulle ändå vara intressant att läsa lite mer.

Tendo 158
Postad: 14 okt 2019 13:16

Sök på taylor utveckling istället för MacLaurin eftersom MacLaurin är till för x värden nära 0

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 14 okt 2019 14:49

Visst är potensserieutveckling elegant -- problemet kan vara att detta begrepp inte behandlas i samband med gränsvärdesbegreppets inledande avsnitt -- varur ditt redovisade gränsvärdesproblem sannolikt är hämtat.

Kanelbullen 356
Postad: 15 okt 2019 12:36

Tack för svar Tendo och dr_lund.

Min nivå är Matematik I (Analys) på universitetet, så dr_lund har nog rätt avseende vad jag kan utifrån kurslitteraturen.

Svara
Close