Beräkna gränsvärdet när x går mot -8

Jag ska beräkna gränsvärdet

$\lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{1 - x} - 3}{2 + \sqrt[3]{x}} .$

Jag börjar med att göra en substitution i funktionsuttrycket för att få bort 3:e-roten i nämnaren och låter $x = - t^{3}$ , dvs $t = - \sqrt[3]{x}$ , då är

$\frac{\sqrt{1 - x} - 3}{2 + \sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt{1 + t^{3}} - 3}{2 - t} .$

Om vi ska titta på gränsvärdet när $x \to - 8$ , så är motsvarande värde som t ska gå mot 2, eftersom om man sätter in $x = - 8$ i $- \sqrt[3]{x}$ så får vi att 3:e-roten ur $- 8$ är $- 2 .$

Vi kan inte substituera $t = 2$ i funktionen $\frac{\sqrt{1 + t^{2}} - 3}{2 - t}$ eftersom den inte är definierad när nämnaren är 0, men vi kan utifrån detta nya uttryck gå vidare genom att förlänga med täljarens konjugat i både täljare och nämnare. Då får vi att

$\frac{(\sqrt{1 + t^{3}} - 3) (\sqrt{1 + t^{3}} + 3)}{(2 - t) (\sqrt{1 + t^{3}} + 3)} = \frac{1 + t^{3} - 9}{2 (\sqrt{1 + t^{3}}) + 6 - (t \sqrt{1 + t^{3}}) - 3 t} .$

Nu undrar jag om jag är på rätt spår och vad kan jag i så fall bryta ut ur uttrycket som jag fått fram längst ner i mina uträkningar?

Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att $x = t^{3}$ och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot $- 8 .$

$\lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{1 - x} - 3}{2 + \sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt{9} - 3}{a + i b} = \frac{0}{a + i b} = 0$

Svar till Affe Jkpg:

Så du menar att jag ska betrakta nämnaren som ett komplext tal?

Men är verkligen uppgiften löst fullständigt när vi har satt a + ib i nämnaren?

Skulle man sätta in $x = - 8$ så blir ju uttrycket odefinierat och så får vi ju inte ha det :-)

Men jag håller med om att det verkar vara så att gränsvärdet är 0 då $x \to - 8 .$

Förklara gärna ytterligare.

Och så undrar jag om det var helt onödigt att substituera så som jag gjorde?

Affe Jkpg skrev:
$\lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt{1 - x} - 3}{2 + \sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt{9} - 3}{a + i b} = \frac{0}{a + i b} = 0$

= 0/0.

Prova l'Hopitals regel.

Affe Jkpg:s replik är förvirrande:

Det är inte alls fråga om komplexa tal. $\sqrt[3]{x} \to - 2 d å x \to - 8$ .

Din ide att sätta $x=t^3$ är ok.

Med detta variabelbyte övergår bråket i

$\dfrac{\sqrt{1-t^3}-3}{t+2}$ . Gör konjugatförlängning:

$\dfrac{\sqrt{1-t^3}-3}{t+2}=-\dfrac{(t^3+8)}{(t+2)(\sqrt{1-t^3}+3)}$ =

= $-\dfrac{(t+2)(t^2-2t+4)}{(t+2)(\sqrt{1-t^3}+3)}$ . Förkorta med (t+2). Vad händer med bråket då $t\rightarrow -2$ ?

Kanelbullen skrev:
Sedan återstår förstås även att substituera tillbaka. Jag har ju förutsatt att $x = t^{3}$ och som avslutning ska vi ju se vad gränsvärdet blir när x går mot $- 8 .$

I citatet ovan har jag skrivit fel. Jag har ju förutsatt att $x = - t^{3}$ . Jag glömde visst minustecknet där.

Vad tror ni om följande lösning av uppgiften?

Jag fick bra hjälp av dr_lund. Tack för det.

Får också $-2$ . Tycker det är rätt straightforward med MacLaurin-utveckling (se nedan).

Har någon en länk till där MacLaurin-utveckling förklaras närmare?

tomast80 visar tydligt, men det skulle ändå vara intressant att läsa lite mer.

Sök på taylor utveckling istället för MacLaurin eftersom MacLaurin är till för x värden nära 0

Visst är potensserieutveckling elegant -- problemet kan vara att detta begrepp inte behandlas i samband med gränsvärdesbegreppets inledande avsnitt -- varur ditt redovisade gränsvärdesproblem sannolikt är hämtat.

Tack för svar Tendo och dr_lund.

Min nivå är Matematik I (Analys) på universitetet, så dr_lund har nog rätt avseende vad jag kan utifrån kurslitteraturen.

Svara

Visa senaste svar