Beräkna gränsvärdet, förenkla rationella uttryck
Hej, jag ska lösa en uppgift där jag ska beräkna gränsvärdet då x går mot -2 av (1/x^2 - 1/4)/(x+2).
Då x=-2 ger division med noll, vilket inte är definierat, måste jag förenkla det rationella uttrycket först.
Jag har skrivit om uttrycket i täljaren (1/x ^2 - 1/4) till (x^-2 - 0,25)
eftersom 1/x^2 = x^-2
och 1/4 = 0,25
Om jag sätter tillbaka det får jag:
(x^-2 - 0,25)/(x+2)
Det är här jag inte kommer vidare i min förenkling av uttrycket.
Det känns som att man ska skriva om täljaren med omvänd konjugatregel a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
Det jag inte förstår är hur det blir när man har en negativ exponent som i x^-2.
Hej och välkommen till Pluggakuten!
Pröva att förlänga med x2 och sedan skriva om täljaren med hjälp av konjugatregeln.
Alternativt: Konstatera att .
Tack för svar.
Jag gjorde följande i täljaren:
1. x^2(x^-2 -0,25) =
2. x^2+-2 - 0,25*x^2 =
3. x^0 - 0,25x^2 =
4. 1 - 0,25x^2
Jag skrev sedan om det med hjälp av konjugatregeln:
(1 + 0,5x)(1-0,5x)
Eftersom jag förlängde med x^2 i täljaren måste jag även göra samma sak i nämnaren:
1. x^2 (x + 2)
Jag har nu förenklat uttrycket till:
(1 + 0,5x)(1-0,5x)/x^2(x+2)
Jag tänker att jag nu vill förlänga täljaren med 2 vilket ger:
1. 2(1 + 0,5x)(1 - 0,5x) =
2. (2 + x)(2 - x)
Jag får:
(2+x)(2-x)/x^2(x + 2)
Jag stryker (2+x) vilket ger:
(2-x)/x^2
Och då är min förenkling klar, har jag tänkt rätt?
Det blir när du förlänger med 2. Det betyder att multiplicera med 2/2, du har bara multiplicerat täljaren med 2.
Det blir fel när du multiplicerar in 2 i (1+0,5x)(1-0,5x), du har multiplicerat med 2*2 istf 2.
Okej jag förstår delvis, jag måste även förlänga i nämnaren. Blir det istället rätt om jag gör såhär:
2(1 + 0,5x)2(1 - 0,5x)/ 4x^2(x + 2)
Nu förlänger du med 4 istf 2. Det går bra att göra så men onödigt, det enda du vill är ju att (1+0,5x) ska bli (x+2) så att du kan förkorta.
Att förlänga ett bråk med (ett nollskilt) tal a innebär att du multiplicerar både täljare och nämnare med a. Du ändrar därmed inte bråket värde.
Att förkorta ett bråk med (ett nollskilt) tal b innebär att du dividerar både täljare och nämnare med b. Du ändrar därmed inte bråket värde.
Du kan läsa mer om förlängning och förkortning här.
Okej, jag tror jag är med på vad som blev fel tidigare.
Hoppas jag förstått detta rätt, såhär gjorde jag istället:
1. 2(1 + 0,5x)(1-0,5x)/2x^2(x + 2) <-----Multiplicera in faktor 2 i första parentesen i täljaren
2. (2 + x)(1-0,5x)/2x^2(x+2) <-----Stryk (2+x) - termerna i täljaren och i nämnaren
3. (1 - 0,5x)/(2x^2) <----- Bryt ut faktor 2 i täljaren och i nämnaren
4. 2(0,5 - 0,25x)/2(x^2) <----- Stryk faktor 2
5. (0,5-0,25x)/x^2
Har jag tänkt rätt? Är min förenkling klar där?
Det är rätt men uttrycket i steg 3 är minst lika förenklat som det i steg 5. Jag skulle stannat där.
Sen återstår bara att beräkna gränsvärdet då x går mot -2.
Toppen, jag förstår. Stort tack för hjälpen!
