Beräkna gränsvärdet av:

Testa variabelbyte: $t=-x$. Det ger:

$\displaystyle \lim_{t\to \infty} \sqrt{(-t)^2-t}-(-t)=...$

Observera också att $\sqrt{x^2}=|x|$

Hej,

Du får

    $\frac{x}{|x|\sqrt{1+x^{-1}}+x} = \frac{1}{\text{sign}(x)\sqrt{1+x^{-1}}+1}.$

Här är du intresserad av $x<0$ vilket ger $\text{sign}(x) = -1$ och kvoten blir

    $\frac{1}{1-\sqrt{1+x^{-1}}}.$

Välj ett godtyckligt $n>1$ och notera att

    $\frac{1}{1-\sqrt{1+x^{-1}}}>n$ om $x<\frac{n^2}{1-2n}$

vilket visar att kvoten är divergent då $x\to-\infty.$

Det är lite svårt att se exakt hur uppgiften lyder, menar du detta: 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x}-x}\right)$?

I sådant fall, din metod är rätt, men det blir fel när du förlänger med konjugatet. Det bör bli något i stil med detta: 

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x}-x}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1·\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)·\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}\right)= \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{{\sqrt{x^2+x}}^2-x^2}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{x}\right) \end{gathered}$$

Härifrån kan du förenkla bråket och få fram svaret. :)

Alternativ lösning:

$\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+x}-x=$

$\lim_{x\to -\infty}|x|\sqrt{1+1/x}+|x|=$

$\lim_{x\to -\infty}|x|(\sqrt{1+1/x}+1)>$

$\lim_{x\to -\infty}|x|=\infty$