Beräkna gränsvärdet

Jag skulle nog använt MacLaurin-utveckling:

http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

Hej!

Taylorutveckling av funktionerna $\cos$ och $\arctan$ kring punkten $x=0$ -- vilket är Maclaurinutvecklingar -- låter dig skriva

    $\displaystyle \cos x = 1 - 0.5x^2 + o_1(x^2)$

och

    $\displaystyle \arctan x = x -\frac{1}{3}x^3 + o_2(x^3)$

där $o_1$ är en funktion sådan att

    $\lim_{x\to0}\frac{o_1(x^2)}{x^2}=0$

och $o_2$ är en funktion sådan att

    $\lim_{x\to0}\frac{o_2(x^3)}{x^3}=0$. 

Den intressanta kvoten kan därför skrivas såhär:

    $\displaystyle \frac{x^2(1-0.5x^2+o_1(x^2))-x(x-\frac{1}{3}x^3+o_2(x^3))}{x^4}=\frac{(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})x^4+o(x^4)}{x^4} = -\frac{1}{6}+\frac{o(x^4)}{x^4},$ 

där $o$ betecknar en funktion sådan att

    $\lim_{x\to0}\frac{o(x^4)}{x^4}=0$.