Beräkna gränsvärdet

Hej!

Jag skulle ha börjat med att analysera termen $x^3e^{-x}$, och sen försöka gissa vad gränsvärdet bör vara. Då kanske du inser att det är en bra början att förlänga bråket med $\frac{1}{x^2}$.

Moffen skrev:

Hej!

Jag skulle ha börjat med att analysera termen $x^3e^{-x}$, och sen försöka gissa vad gränsvärdet bör vara. Då kanske du inser att det är en bra början att förlänga bråket med $\frac{1}{x^2}$.

Hej

Förstod inte riktigt. Varför just 1/x²? Är van vid att man delar med största exponent på alla värden eller tar lhospital

Har du analyserat den termen som jag tipsade om? Vad har du för gissning på värdet av gränsvärdet (som självklart innebär att du behöver kolla på alla termer i bråket)?

Moffen skrev:

Har du analyserat den termen som jag tipsade om? Vad har du för gissning på värdet av gränsvärdet (som självklart innebär att du behöver kolla på alla termer i bråket)?

X³e^-x går mot 0 när den nu är i nämnaren ? Menade att jag skulle analysera på det sättet?

Ska jag nu då titta på alla på det sättet? 

Ja precis, och självklart måste du titta på alla termer i bråket. Det spelar dock ingen roll om den är i nämnaren eller inte, så jag vet inte vad du menar med det.

Moffen skrev:

Ja precis, och självklart måste du titta på alla termer i bråket. Det spelar dock ingen roll om den är i nämnaren eller inte, så jag vet inte vad du menar med det.

Menade om man ska analysera dem andra termerna på liknande sätt. 

Blir svaret inte 0? För att täljaren blir 1 och nämnaren blir 0? då nämnaren: 2x^-2 går också mot noll?

Svaret bör inte bli $0$. Dessutom, om täljaren är $1$ och nämnaren $0$ så är väl inte kvoten lika med $0$?

Du har rätt i att $2x^{-2}\to0$ då $x\to+\infty$, men vi har ingen term $2x^{-2}$ här så det hjälper inte så mycket, vi har dock en term som är $2x^2$, eller hur?

Moffen skrev:

Svaret bör inte bli $0$. Dessutom, om täljaren är $1$ och nämnaren $0$ så är väl inte kvoten lika med $0$?

Du har rätt i att $2x^{-2}\to0$ då $x\to+\infty$, men vi har ingen term $2x^{-2}$ här så det hjälper inte så mycket, vi har dock en term som är $2x^2$, eller hur?

Oj ja precis 2x² oj blandade ihop nämnare o täljare. 

Det borde ju gå mot 2? o då är nämnaren 2

Då borde svaret bli 1/2 eller -1/2 då det är -2x²? 

Precis, snygg gissning. Jag skulle också gissa på att gränsvärdet är $-\frac{1}{2}$. Om vi kollar på varje term för sig så ser vi att:

$\left(x+1\right)^2\approx x^2$ då $x\to+\infty$, och $2x\sin\left(x\right)$ är mycket mindre i jämförelse med $x^2$ då $x\to+\infty$, så att den termen kan försummas. I nämnaren har vi $x^3e^{-x}\to0$ då $x\to+\infty$ eftersom $e^{-x}$ "vinner" över $x^3$. Till sist har du termen $-2x^2$, som är ganska enkel i sig. Allt som allt har du att ditt bråk beter sig ungefär som $\frac{\left(x+1\right)^2+2x\sin\left(x\right)}{x^3e^{-x}-2x^2}\approx\frac{x^2}{-2x^2}=-\frac{1}{2}$ då $x\to+\infty$. 

Då har vi vår gissning, och då är det dags att visa att vår gissning faktiskt stämmer. Eftersom vi, genom vår gissning, fick att täljare och nämnare betedde sig (båda två i det här fallet) som $x^2$ (utan koefficienter), så är det en bra idé att förlänga hela bråket med $\frac{1}{x^2}$ och se vad som trillar ut.

Jag vill dock nämna att du inte riktigt alltid kan göra så att du analyserar varje term för sig, eftersom det kan finnas termer som tar ut varandra eller liknande. Man får kolla på hela uttrycket först, och sen se vad man kan analysera var för sig, och sen vilken gissning man kanske har på gränsvärdet.

Moffen skrev:

Precis, snygg gissning. Jag skulle också gissa på att gränsvärdet är $-\frac{1}{2}$. Om vi kollar på varje term för sig så ser vi att:

$\left(x+1\right)^2\approx x^2$ då $x\to+\infty$, och $2x\sin\left(x\right)$ är mycket mindre i jämförelse med $x^2$ då $x\to+\infty$, så att den termen kan försummas. I nämnaren har vi $x^3e^{-x}\to0$ då $x\to+\infty$ eftersom $e^{-x}$ "vinner" över $x^3$. Till sist har du termen $-2x^2$, som är ganska enkel i sig. Allt som allt har du att ditt bråk beter sig ungefär som $\frac{\left(x+1\right)^2+2x\sin\left(x\right)}{x^3e^{-x}-2x^2}\approx\frac{x^2}{-2x^2}=-\frac{1}{2}$ då $x\to+\infty$. 

Då har vi vår gissning, och då är det dags att visa att vår gissning faktiskt stämmer. Eftersom vi, genom vår gissning, fick att täljare och nämnare betedde sig (båda två i det här fallet) som $x^2$ (utan koefficienter), så är det en bra idé att förlänga hela bråket med $\frac{1}{x^2}$ och se vad som trillar ut.

Jag vill dock nämna att du inte riktigt alltid kan göra så att du analyserar varje term för sig, eftersom det kan finnas termer som tar ut varandra eller liknande. Man får kolla på hela uttrycket först, och sen se vad man kan analysera var för sig, och sen vilken gissning man kanske har på gränsvärdet.

Tack så mycket.

Ja jag är mer van vid att man ska ta bort termer och inte analysera. 

Bra. Då är det nu din uppgift att beräkna gränsvärdet (visa att det faktiskt är lika med $-\frac{1}{2}$).

Moffen skrev:

Bra. Då är det nu din uppgift att beräkna gränsvärdet (visa att det faktiskt är lika med $-\frac{1}{2}$).

Yes blir rätt. Tack.