Beräkna gransvärden (5/6)... jag vet.

Hej!

Eftersom $\cot \frac{\pi}{2} = 0$ så är gränsvärdet nästan lika med derivatan $\cot^'$ beräknad i punkten $x=\frac{\pi}{2}$

    ${\displaystyle \frac{\cot x}{2x-\pi }=\frac{1}{2}·\frac{\cot x-\cot \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}.}$

Definitionen av begreppet derivata ger att det sökta gränsvärdet är lika med $-0.5$.

Hej Albiki!

Jag är ledsen, jag förstår inte heller!

Albiki skrev:

Hej!

Eftersom $\cot \frac{\pi}{2} = 0$ så är gränsvärdet nästan lika med derivatan $\cot^'$ beräknad i punkten $x=\frac{\pi}{2}$

${\displaystyle \frac{\cot x}{2x-\pi }=\frac{1}{2}·\frac{\cot x-\cot \frac{\pi }{2}}{x-\frac{\pi }{2}}.}$

Nämnaren då, blir den inte nästan noll? Är det nåt standard gransvärde här?

$\displaystyle \lim_{x\to{\frac{\pi}{2}}}\frac{\cos(x)}{\sin(x)(2x-\pi)}=\left\{ x=\frac{\pi}{2}-t \right\}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)(\pi-\pi-2t)}=-\frac{1}{2}$

Guggle skrev:

$\displaystyle \lim_{x\to{\frac{\pi}{2}}}\frac{\cos(x)}{\sin(x)(2x-\pi)}=\left\{ x=\frac{\pi}{2}-t \right\}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)(\pi-\pi-2t)}=-\frac{1}{2}$

 😳😭😭

När $t$ går mot noll, $\frac{\sin(t)}{\cos(t)(\pi-\pi-2t)}=\frac{\sin(0)}{1*(\pi-\pi-2\ast0)}=\frac00$??

dajamanté skrev:

 😳😭😭

När $t$ går mot noll, $\frac{\sin(t)}{\cos(t)(\pi-\pi-2t)}=\frac{\sin(0)}{1*(\pi-\pi-2\ast0)}=\frac00$??

Ja, det blir ett 0/0, men du kan använda  standardgränsvärdet $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}$. Jag tror du räknat för många gränsvärden idag och ser inte skogen för alla träd! :) Blir så för mig också ibland.

Hoppas du ser det bättre nu:

$\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)(\pi-\pi-2t)}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{(-2t)\cos(t)}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\cos(0)} \cdot \lim_{t\to 0}\left( \frac{\sin(t)}{t}\right )$

Ah jo nu ser jag, drar man bort 2:an får man standardgransvärden.

Du har alldeles rätt, jag känner mig lite rastlös med alla limus,  jag fortfarande funderar på den med e^{1/x} som jag måste omvandla. Pust...