Beräkna gransvärden (4/6). Courage, det är snart slut med spamming!

Tjenare!

Först och främst, noll plus innebär att vi går mot noll från den positiva sidan av en tallinje. 

Uppgiften går nog att lösa på många sätt. Jag gillar personligen att utnyttja standardgränsvärden. 

Till exempel denna godbit: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=\frac{e^x-1}{x}=1$

Det går att "fippla" lite med ditt gränsvärde så att det ungefär får samma utseende som det ovan nämnda standardgränsvärdet!

freddan932 skrev:

Tjenare!

Först och främst, noll plus innebär att vi går mot noll från den positiva sidan av en tallinje. 

Uppgiften går nog att lösa på många sätt. Jag gillar personligen att utnyttja standardgränsvärden. 

Till exempel denna godbit: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=\frac{e^x-1}{x}=1$

Hmmm... I like!

Det går att "fippla" lite med ditt gränsvärde så att det ungefär får samma utseende som det ovan nämnda standardgränsvärdet!

Oj, nu är det bara att fippla :). Återkommer när en lösning är på g... 

Hej!

Eftersom det gäller att $e^{y}>y^4$ när $y>1$ så följer det att

    $\displaystyle x^3e^{\frac{1}{x}}>\frac{1}{x}$

när $x>0$.

Albiki skrev:

Hej!

Eftersom det gäller att $e^{y}>y^4$ när $y>1$ så följer det att

Jag förstår inte. Om y=2, $e^{2}>2^4$ är ju inte sant?

    $\displaystyle x^3e^{\frac{1}{x}}>\frac{1}{x}$

när $x>0$.

 Det är jag inte med heller...

dajamanté skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Eftersom det gäller att $e^{y}>y^4$ när $y>1$ så följer det att

Jag förstår inte. Om y=2, $e^{2}>2^4$ är ju inte sant?

    $\displaystyle x^3e^{\frac{1}{x}}>\frac{1}{x}$

när $x>0$.

 Det är jag inte med heller...

 Det ska stå $y>100$ istället för $y>1$, men det spelar inte någon roll eftersom man vill att $y$ ska vara mycket stort positivt tal.

Ok, och den andra påstående då, jag är inte med varför det följer att:

$x^3{e}^{\frac{1}{x}}>\frac{1}{x}$?

freddan932 skrev:

Tjenare!

Först och främst, noll plus innebär att vi går mot noll från den positiva sidan av en tallinje. 

Uppgiften går nog att lösa på många sätt. Jag gillar personligen att utnyttja standardgränsvärden. 

Till exempel denna godbit: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }=\frac{e^x-1}{x}=1$

Det går att "fippla" lite med ditt gränsvärde så att det ungefär får samma utseende som det ovan nämnda standardgränsvärdet!

 Ok, jag lovar att jag har fipplat och promenerat ordentligt sedan igår. Men jag kan inte konvertera :(

$x^3{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{x}=t\\ x\to 0, t\to \infty \end{array}\right]=\frac{e^t}{t^3}=\frac{1}{t^2}·\frac{e^t}{t}$ saknas fortfarande en minus ett...

Kan du snälla förklara?

Vad menar du med att det saknas "minus ett"?

Om vi gör variabelbytet du gjorde får man:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x^3e^{(1/x)}=\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^t}{t^3}$

Vilken av funktionerna $e^t$ och $t^3$ kommer att växa snabbast? Vad kommer detta att göra med kvoten?

Nämen jag vill transformera $x^3{e}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}$ till en standard gränsvärde som freddan932 föreslog. I den här bemärkelse (säger man det på svenska??) saknas det ett $-1$.

Det går inte att ta hjälp av detta gränsvärde:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=0$

eftersom detta gränsvärde är när exponenten går mot noll. I vårt fall går exponenten mot oändligheten.

Själv skulle jag kalla följande för ett standardgränsvärde, men det beror väl på vem man frågar:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a^x}{x^b}=\infty$ för $a > 1, b \in \Bbb R$

Aha men varför skrev hon så? Vet du vad menades?

Inte riktigt. Det kan ha varit något sånt här freddan haft i åtanke, men jag tycker inte att det är särskilt likt standardgränsvärdet..

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{-3}}$

Okej, vi kör med $\frac{e^t}{t^3}$ som går mot oändlighet när t växer. Tack för hjälpen!