Beräkna gransvärden (2/6)

Samma fråga här (duger lösning och hur löser man utan l'hôpital regel, med standardgransvärderna)

$\underset{x \to \frac{π}{2}}{l i m} \frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{x - \frac{π}{2}}$ . Detta anvandlade jag till $\underset{x \to \frac{π}{2}}{l i m} \frac{\cos (x)}{(x - \frac{π}{2})}$ . Därifrån har vi fortfarande $\frac{'' 0}{0''}$ , och derivata ger $\frac{-sin(\frac\pi2)}1$ , som är $-1$ .

Men hur gör man annars? Är det $\underset{x \to \frac{π}{2}}{l i m} \frac{\frac{\cos (x)}{x}}{\frac{(x - \frac{π}{2})}{x}}$ som gäller? Men $\frac{\cos (x)}{x}$ är väl ingen standard gränsvärde? Eller måste jag byta ut $\frac{π}{2} \to α$ och omvandla den ursprungliga ekvation till: $\underset{x \to \frac{π}{2}}{l i m} \frac{(\frac{\sin α}{α})}{(- α / α)} = \frac{1}{- 1} = - 1$ ?

Isf vad händer med alfa när x går mot pi över 2??

Du krånglar till det. Använd att sin är en udda funktion:

$\sin(-x) = -\sin x$ , vilket i kombination med substitutionen:

$t = x-\frac{\pi}{2}$ ger ett standardgränsvärde.

Alternativ kan man faktiskt tolka uttrycket direkt som en derivata:

$f(x) = -\sin x$

Gränvärdet är precis enligt derivatans definition:

$f' (\frac{π}{2}) = - \cos (\frac{π}{2})$

tomast80 skrev:
Du krånglar till det. Använd att sin är en udda funktion:
$\sin(-x) = -\sin x$ , vilket i kombination med substitutionen:
$t = x-\frac{\pi}{2}$ ger ett standardgränsvärde.

Tack, den här förstår jag utmärkt. Jag skriver ned lösningen till min framtida, amnesisk-jag*.

$l \underset{x \to \frac{π}{2}}{i} m \frac{\sin (\frac{π}{2} - x)}{x - \frac{π}{2}} \Rightarrow [\begin{matrix} x - \frac{π}{2} & = & t \\ \frac{π}{2} - x & = & - t \end{matrix}] \Rightarrow \frac{\sin (- t)}{t} = \frac{- \sin (t)}{t} = - 1$

(*ja, du Daja som kommer tillbaka ditt on två veckor)

tomast80 skrev:
Alternativ kan man faktiskt tolka uttrycket direkt som en derivata:
$f(x) = -\sin x$
Gränvärdet är precis enligt derivatans definition:
$f' (\frac{π}{2}) = - \cos (\frac{π}{2})$

Jag typ förstår men inte 100%.

Varför $-sin(x)$ ? Struntar vi i nämnaren?

Ja, att derivata definition är $\frac{f (x + h) + f (x)}{h}$ när $h$ gå mot noll... men hur passar det här?

Du kan också skriva derivatan som:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Alltså gäller för sin att:

$\sin (a - x) = - \sin (x - a)$

Svara

Visa senaste svar