beräkna gränsvärde mha limx-->0(sinx/x)=1

Tillåts ni använda l'Hôpitals regel?

I så fall får du nästan $\frac{\sin(x)}{x}$-gränsvärdet genom att applicera regeln en gång.

nä vi har inte gått igenom den formeln än. i liknande uppgifter skall man göra om sitt f så att det liknar sinx/x så att man kan annvända att det blir 1 då x går mot 0

jag tänkte att man kunde använda att cos x = 1-2sin^2(x/2) och därför skulle cos 5x = 1-2sin^2(5x/2) vilket ger 2sin^2(5x/2)/x^2 men då är ju nämaren 'fel'

jag klarade uppgiften

Tips; om man sätter $g(x)=\cos(5x)$ fås att $g'(x)=-5\sin(5x)$.

Enligt derivatans definition gäller då att:

$g'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{\cos(5x)-\cos(5\cdot 0)}{x} = ...$

Ses några likheter mellan ovanstående uttryck och det efterfrågade gränsvärdet?

Maclaurinutveckling är även väldigt smidigt att använda här:

$\lim_{x\to0} \dfrac{1-\cos(5x)}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{1-(1-\frac{(5x)^2}{2}+\mathcal{O}(x^4))}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{\frac{25x^2}{2}+\mathcal{O}(x^4)}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{25}{2}=\dfrac{25}{2}$

Alternativ lösning nedan utifrån gränsvärdesdefinitionen av andraderivatan: