beräkna gränsvärde mha limx-->0(sinx/x)=1
Hej har en uppgift där jag ska beräkan gräsnvärdet limx->0 ((1-cos(5x))/x^2) med hjälp av att jag vet att limx->0sinx/x=1. Jag är helt fast kan nån snälla hjälpa mig
Tillåts ni använda l'Hôpitals regel?
I så fall får du nästan sin(x)x-gränsvärdet genom att applicera regeln en gång.
nä vi har inte gått igenom den formeln än. i liknande uppgifter skall man göra om sitt f så att det liknar sinx/x så att man kan annvända att det blir 1 då x går mot 0
jag tänkte att man kunde använda att cos x = 1-2sin^2(x/2) och därför skulle cos 5x = 1-2sin^2(5x/2) vilket ger 2sin^2(5x/2)/x^2 men då är ju nämaren 'fel'
jag klarade uppgiften
Tips; om man sätter g(x)=cos(5x) fås att g'(x)=-5sin(5x).
Enligt derivatans definition gäller då att:
g'(0)=limx→0cos(5x)-cos(5·0)x=...
Ses några likheter mellan ovanstående uttryck och det efterfrågade gränsvärdet?
Maclaurinutveckling är även väldigt smidigt att använda här:
limx→01-cos(5x)x2=limx→01-(1-(5x)22+O(x4))x2=limx→025x22+O(x4)x2=limx→0252=252
Alternativ lösning nedan utifrån gränsvärdesdefinitionen av andraderivatan: