7 svar
267 visningar
solaris behöver inte mer hjälp
solaris 238 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2018 20:40

beräkna gränsvärde mha limx-->0(sinx/x)=1

Hej har en uppgift där jag ska beräkan gräsnvärdet limx->0 ((1-cos(5x))/x^2) med hjälp av att jag vet att limx->0sinx/x=1. Jag är helt fast kan nån snälla hjälpa mig

AlvinB 4014
Postad: 1 okt 2018 21:07 Redigerad: 1 okt 2018 21:08

Tillåts ni använda l'Hôpitals regel?

I så fall får du nästan sin(x)x\frac{\sin(x)}{x}-gränsvärdet genom att applicera regeln en gång.

solaris 238 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2018 21:13

nä vi har inte gått igenom den formeln än. i liknande uppgifter skall man göra om sitt f så att det liknar sinx/x så att man kan annvända att det blir 1 då x går mot 0

solaris 238 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2018 21:18

jag tänkte att man kunde använda att cos x = 1-2sin^2(x/2) och därför skulle cos 5x = 1-2sin^2(5x/2) vilket ger 2sin^2(5x/2)/x^2 men då är ju nämaren 'fel'

solaris 238 – Fd. Medlem
Postad: 1 okt 2018 21:32

jag klarade uppgiften

tomast80 4245
Postad: 1 okt 2018 21:33

Tips; om man sätter g(x)=cos(5x)g(x)=\cos(5x) fås att g'(x)=-5sin(5x)g'(x)=-5\sin(5x).

Enligt derivatans definition gäller då att:

g'(0)=limx0cos(5x)-cos(5·0)x=...g'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{\cos(5x)-\cos(5\cdot 0)}{x} = ...

Ses några likheter mellan ovanstående uttryck och det efterfrågade gränsvärdet?

AlvinB 4014
Postad: 1 okt 2018 21:48 Redigerad: 1 okt 2018 21:49

Maclaurinutveckling är även väldigt smidigt att använda här:

limx01-cos(5x)x2=limx01-(1-(5x)22+O(x4))x2=limx025x22+O(x4)x2=limx0252=252\lim_{x\to0} \dfrac{1-\cos(5x)}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{1-(1-\frac{(5x)^2}{2}+\mathcal{O}(x^4))}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{\frac{25x^2}{2}+\mathcal{O}(x^4)}{x^2}=\lim_{x\to0} \dfrac{25}{2}=\dfrac{25}{2}

tomast80 4245
Postad: 1 okt 2018 22:16

Alternativ lösning nedan utifrån gränsvärdesdefinitionen av andraderivatan:

Svara
Close