Beräkna gränsvärde med Taylorpolynom (envariabelsanalys)

Hej,

Jag har i uppgift att med hjälp av lämpliga Taylorutvecklingar beräkna gränsvärdet:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos (x) - a r c \tan (x)}{x^{3}}$ .

Jag har förstått att jag ska Taylorutveckla täljare respektive nämnare och har vidare fått tipset om att göra detta med ordo, men har lite svårt att förstå vad som menas exakt. Är det någon som skulle kunna hjälpa mig på traven?

Tack!

Testa. Hitta standardutvecklingar för dina funktioner i någon tabell och stoppa in, och visa vad du får fram.

Välkommen till Pluggakuten!

Med hjälp av begreppet lilla ordo $o(x)$ kan de två funktionerna $\cos(x)$ och $\arctan(x)$ approximeras av polynomfunktioner då $x\approx 0.$

$\cos(x) = 1-0.5x^2 + o_1(x^2)$

$\arctan(x) = x-\frac{x^3}{3}+o_2(x^3)$

Här är $o_1(x^2)$ en kontinuerlig funktion sådan att

$\lim_{x\to0} \frac{o_1(x^2)}{x^2} = 0$

och $o_2(x^3)$ är en kontinuerlig funktion sådan att

$\lim_{x\to0}\frac{o_2(x^3)}{x^3} = 0.$

Detta ger dig följande uttryck för den intressanta kvoten.

$\displaystyle\frac{x\cos(x)-\arctan(x)}{x^3} = \frac{x-(1/2)x^3 + xo_1(x^2)-x+(1/3)x^3+o_2(x^3)}{x^3} = -(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \frac{o_1(x^2)}{x^2} + \frac{o_2(x^3)}{x^3}.$

Svara