beräkna gränsvärde (envariabelanalys)

Vad händer om du skriver om f(x) till $\frac{e^{1/x}}{1/x}$ och kör l'hopital här? 

cjan1122 skrev:

Vad händer om du skriver om f(x) till $\frac{e^{1/x}}{1/x}$ och kör l'hopital här? 

jag kan testa, men hur kommer man ens på att göra på det här sättet? är det någon standardlösning som jag missat?

Nja tror inte det är någon standardgrej. Ofta är det ett bra första steg att försöka skriva om uttrycket, i detta fall när man ser 1/x inbakat i täljaren och kan tvinga fram en 1/x i nämnaren.

cjan1122 skrev:

Nja tror inte det är någon standardgrej. Ofta är det ett bra första steg att försöka skriva om uttrycket, i detta fall när man ser 1/x inbakat i täljaren och kan tvinga fram en 1/x i nämnaren.

Jag håller med, tror det är så man måste tackla det här problemet.

cjan1122 skrev:

Vad händer om du skriver om f(x) till $\frac{e^{1/x}}{1/x}$ och kör l'hopital här? 

det funkar inte för mig för får fel ändå

$d/dx \frac{e^{1/x}}{1/x}=\frac{-{\displaystyle \frac{e^{1/x}}{x^2}}-(-{\displaystyle \frac{e^{1/x}}{x^2}})}{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}=-\frac{e^{1/x}}{x}+e^{1/x}$

jag har fortfarande x i nämnare som blir fel när jag låter x gå mot 0

hur löser man denna?

Du måste derivera täljaren och nämnaren för sig.

$\frac{d/dx \left(e^{1/x}\right)}{d/dx (1/x)} = \frac{(-1/x^2) e^{1/x}}{(-1/x^2)} = e^{1/x } först när x\to 0^{+}, sen när x\to 0^{-}$

cjan1122 skrev:

Du måste derivera täljaren och nämnaren för sig.

$\frac{d/dx \left(e^{1/x}\right)}{d/dx (1/x)} = \frac{(-1/x^2) e^{1/x}}{(-1/x^2)} = e^{1/x } först när x\to 0^{+}, sen när x\to 0^{-}$

aa okej såg att jag i efterhand att jag inte följde lhospital korrekt men är med nu

men förstår fortfarande inte hur man beräknar dessa gränsvärden

det borde bli +- oändligheten men det står annat i facit förstår inte varför. ska man använda lhospital igen nu efter detta eller när tar detta tal slut?

$\underset{x\to 0^{+}}{lim} e^{1/x} = e^{\infty } = \infty men \underset{x\to 0^{-}}{lim} e^{1/x} = e^{-\infty } = \frac{1}{e^{\infty }}=0$

Lite slarvigt uttryckt men poängen är att expfunktionen $e^{1/x}$ aldrig kan gå mot minus oändligheten. 

cjan1122 skrev:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim} e^{1/x} = e^{\infty } = \infty men \underset{x\to 0^{-}}{lim} e^{1/x} = e^{-\infty } = \frac{1}{e^{\infty }}=0$

Lite slarvigt uttryckt men poängen är att expfunktionen $e^{1/x}$ aldrig kan gå mot minus oändligheten. 

det här skulle jag aldrig komma på under några som helst omständigheter, tack för att du lärde mig några på andra sätt och tack för hjälpen!

Man kan också införa en variabel t = 1/x och låta t gå mot oändligheten. 

Hej,

Om $x<0$ så kan man skriva $f(x) =\frac{x}{e^{1/|x|}}$ och notera att $e^{1/|x|} \uparrow \infty$ då $x\uparrow 0$ vilket ger gränsvärdet

    $\lim_{x\uparrow 0}f(x) = 0.$

Om $x>0$ så är $f(x) = xe^{1/x} > x \cdot \frac{1}{x^2}$ vilket visar att $\lim_{x\downarrow 0} f(x) = \infty.$