Beräkna gränsvärde

Kan säga såhär att $\sqrt{4+h}\ne 2+h^{½}$

Det är nog all hjälp jag kan ge just nu.

Hej

Detta kan du ej göra $\sqrt{4+h}\ne 2+\sqrt{h}$!  Men det du kan göra är att förlänga med täljarens konjugat det vill säga:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{4+h}-2\right)\left(\sqrt{4+h}+2\right)}{h·\left(\sqrt{4+h}+2\right)}$

Härifrån tror jag du kan klara det.

Alternativt kan man känna igen gränsvärdet m.h.a. derivatans definition:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$

Jag är osäker på om jag har gjort rätt nu

Ja och nämnaren vilket inte är tillåtet. Därför kan du börja med att förenkla täljaren.

Tips: ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$

Efter din nya bild så är svaret inte korrekt! Vet inte riktigt vad du gör, du kan inte bara multiplicera upp från nämnare till täljaren på det visset.

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{4+h-2}\right)\left(\sqrt{4+h}+2\right)}{h\left(\sqrt{4+h}+2\right)}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{4-4+h}{h\left(\sqrt{4+h}+2\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h}{h\left(\sqrt{4+h}+2\right)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\left(\sqrt{4+h}+2\right)}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Vi kan kontrollerar det också genom att vi ser att funktionen är:$f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow f\text{'}\left(4\right)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$