Beräkna gränsvärde

gulfi52 skrev :

Hur beräknas man gränsvärdena mot +/- oändligheten för

x³+6x²+9x+3 ?

 

Fall 1) mot oändligheten: FÅR MAN räkna

oo³ + 6*oo²+9*oo+3 = oo ?

 

Fall 2) mot minus oändligheten:

OM man får räkna som i fall 1) så får jag i vilket fall problem nu...

-oo + 6*oo + 9*-oo + 3 = VAD?

Nej du får inte räkna så.

Det du kan inse är att ju längre bort från origo man kommer, dvs ju större beloppet av x är, desto mer kommer $x^3$-termen att dominera. Så då x går mot plus oändligheten så går uttrycket mot plus oändligheten. Och då x går mot minus oändligheten så går uttrycket mot minus oändligheten.

Ser du det framför dig? Om inte, så är det en väldigt stor hjälp att grovt skissa grafen till uttrycket i ett koordinatsystem.

Nej, du bör inte pluppa in oändligheten i uttrycket (vilket du ser genererar problem i b)).

Bryt ut ledande term och förenkla.

I a) kan du även tänka att du bara har positiva termer och några går mot oändligheten. Då är saken klar. Annars kan du även se att uttrycket är mindre än x^3 för alla positiva x. 

 Hm - så med oändligheter får man räkna att tex när x går mot oändligheten så växer  x³ snabbare än x²?

Finns det något formellt sätt att beräkna här vad som sker?

gulfi52 skrev :

 Hm - så med oändligheter får man räkna att tex när x går mot oändligheten så växer  x³ snabbare än x²?

 

Finns det något formellt sätt att beräkna här vad som sker?

Inte så formellt kanske, men förståeligt:

Du kan göra som Dr. G föreslog och bryta ut den ledande termen, dvs $x^3$. Du kan då skriva uttrycket som $x^3·\left(1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)$.

Om du nu låter x gå mot $\pm \infty$ så kommer parentesen att gå mot 1 eftersom term 2, 3 och 4 då går mot 0.

Det betyder att uttrycket går mot $x^3$ "plus lite småkrafs". 

Hej!

Du vill beräkna de två gränsvärdena

    $\lim_{x\to \infty} x^2+6x^2+9x+3$

och

    $\lim_{x\to -\infty} x^2+6x^2+9x+3.$

Eftersom $\infty$ och $-\infty$ inte är tal så går det inte att "stoppa in" dem i polynomfunktionen.

Det första gränsvärdet talar om för dig hur polynomfunktionen beter sig när det positiva talet $x$ är stort och det andra gränsvärdet talar om för dig hur polynomfunktionen beter sig när det negativa talet $x$ är stort.

Polynomfunktionen kan uttryckas som

    $x^3 \cdot (1+o(x))$

där funktionen $o(x)$ är sådan att

    $\lim_{x\to \infty} o(x) = 0$ och $\lim_{x\to -\infty} o(x) = 0.$

Detta talar om för dig att polynomfunktionen beter sig som polynomfunktionen $x^3$ när absolutbeloppet $|x|$ är stort.

Eftersom

    $\lim_{x\to \infty} x^3 = \infty$

så gäller detta även $\lim_{x\to \infty} x^2+6x^2+9x+3$  och eftersom

    $\lim_{x\to -\infty} x^3 = -\infty$

så gäller detta även $\lim_{x\to -\infty} x^2+6x^2+9x+3$.

Albiki