Beräkna förhållandet

Nästa steg är det här: "Rita sedan en linje mellan kurvans skärningspunkt med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln". Hittar du de båda punkterna?

x > 0, står det, så allt vänster om y-axeln är ointressant.

Enligt uppgiften skall du bara rita kurvan för x>0

Nästa steg är att dra en linje mellan  kurvans skärningspunkt med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln. (dvs en rät linje mellan (0;4) och (2;0).

Gör det så tar vi det därifrån.

Jag förstår inte riktigt vart jag ska rita :(

Såhär? tänker jag irätt spår? :)

Precis, men behåll kurvan också.

Punkterna, (2, 4) (0, 4) (2, 0)

Hmm, jag tänkte på arean mellan kurvan och den nya linjen, men det är ju bara _en_ area. Vilken den andra är som de talar om vet jag inte. Så nu fastnar jag också.

 Står det 1/3 i facit?

Har inget facit.

Den andra arean är en triangel med en spets i origo och de båda andra hörnen i skärningspunkterna.

Smaragdalena skrev:

Den andra arean är en triangel med en spets i origo och de båda andra hörnen i skärningspunkterna.

Ja, det tror jag också att de menar. Men det står ju inte.

det blir alltså dom två trianglarna?

Nej, vart tog kurvan vägen? I din uppgift står det ju "Rita upp kurvan  y  =  4 - x2  ; x > 0  Rita sedan en linje mellan kurvans skärningspunkt med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln"

Nu har du ju tagit bort kurvan du ritade förut!

De var för att x > 0? 

MonaV skrev:

De var för att x > 0? 

 Nu förstår jag inte alls vad du menar?

Att i uppgiften står det Rita upp kurvan y = 4 - x2 ; x > 0 , därav är inte det till vänster om 0 viktigt?

Men här är kurvan

Bra! Nu är nästa steg "Rita sedan en linje mellan kurvans skärningspunkt med y-axeln och dess skärningspunkt med x-axeln". Du har redan gjort det i en annan figur, men gör det nu i samma figur!

Bra! Nu kan du hitta de båda områdena: dels en triangel, dels den lila tunna klyftan mellan triangelns hypotenusa och kurvan. Skriv ett uttryck för vardera områdets area (det är bara det ena området man behöver en integral till).

bra. nu har du en area mellan din räta linje och kurvan och en area mellan din räta linje och de båda axlarna.

Det som söks är förhållandet mellan dessa båda areor.

$$\begin{gathered} {\int }_0^{2}4- x^{2}dx {\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]}_0^2 \left(4*2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4* 0 - \frac{0^3}{3}\right) = \\ \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(0\right) \end{gathered}$$

Det är omöjligt att förstå vad det är du försöker göra. Använd några ord också, t ex "triangelns area" och "området mellan kurvan och diagonalen".

Varför tecknar du arean av området mellan kurvan och linjen y=4? Det området är inte intressant för den här frågan.

Jag försökte skriva ett uttryck för den nedre triangelns area

Ne nu när jag tänker till så stämmer det ju inte alls!

Vad är arean av en triangel son har basen 2 och höjden 4?

$$\begin{gathered} \frac{bh}{2} \\ \frac{2*4}{2} \\ \frac{8}{2} = 4 a.e \end{gathered}$$

Hur stor är arean mellan kurvan och diagonalen?

Jadu, har suttit och funderat på hur jag ska ställa upp det, men kommer inte fram till något

Jag kommer ha ett uttryck för den där "klyftan" om jag ska subtrahera med 4 a.e som är triangelns area

Eller alltså arean för det blåmarkerade området subtraherat med 4 a.e

Du kan antingen beräkna en integral för hela det blåmarkerade området och sedan subtrahera 4 ae från den arean, eller beräkna integralen över området mellan kurvan och diagonalen. Du får fram samma värde i båda fallen.

Ja okej, men jag får inte ens till att tänka på hur jag ska ställa upp integralen :(

Vilken av integralerna är det du vill ställa upp - hela blåa området eller bara delen mellan diagonalen och kurvan?

$$\begin{gathered} {\int }_0^{2}4-x^{2}dx {\left[4x - \frac{x^3}{3}\right]}_0^2 \left(4 * 2 - \frac{2^2}{3}\right) - \left(4* 0 - \frac{0^3}{3}\right) = \\ \left(8 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \left(\frac{16}{3}\right) \\ \left(\frac{16}{3}\right) - 4 = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Här tänkte jag att jag måste ta kurvans ekvation och sätta in i integralen, räknade ut den och subtraherade med 4 a.e. Och där har jag förhållandet mellan dessa areor. Tänker jag helt knasigt nu?

Vad är det för område du försöker beräkna arean för? Det du skriver först är området mellan kurvan och y=4, vilket inte är något intressant område alls för den här uppgiften.

Jag vet inte om du tänker knasigt, men 16/3 - 4 är inte 1/3.

Smaragdalena skrev:

Vad är det för område du försöker beräkna arean för? Det du skriver först är området mellan kurvan och y=4, vilket inte är något intressant område alls för den här uppgiften.

 Jag tänkte hela kurvans area från x= 0 till x= 2. Men som sagt så har jag säkert tänkt helt fel

Laguna skrev:

Jag vet inte om du tänker knasigt, men 16/3 - 4 är inte 1/3.

 Ja precis det är $\frac{4}{3}$

Kan du sammanfatta vad du har fått fram om areorna för de olika områdena?

Ja nu vet ju jag inte vad jag har gjort rätt eller fel. Fattar bara just ingenting just nu. 

Men jag började med att räkna ut arean för det färgmarkerande området:

vilket blev 4 a.e.

Sedan tänkte jag att jag måste få ut arean för hela detta område:

För att sedan kunna subtrahera min första area på 4 a.e och få ut förhållandet mellan areorna(alltså arean av triangeln och denna lilla "klyfta":

. Vilket jag då fick till $\frac{4}{3}$.

Då borde det gå att svara på frågan. Första delen i alla fall.

Ja jag tänker att svaret är: förhållandet mellan dessa areor är $\frac{4}{3}$.

Hur stort är det lilla (gröna) området?

Hur stort är det stora (röda) området?

Vilket är förhållandet mellan dessa två områden?

Ja! jag har tänkt fel det är ju det gröna området som är $\frac{4}{3} a.e$

Gröna= $\frac{4}{3} a.e$

Röda= 4 a.e

Förhållandet = $4 a.e - \frac{4}{3} = 2.666666667 = \frac{8}{3}$

 ?? Kan va fel detta känner jag.

Eller förhållandet är: triangelarean är 3 ggr så stor som den andra arean

MonaV skrev:

Eller förhållandet är: triangelarean är 3 ggr så stor som den andra arean

 Det här är ett förhållande. (Det andra var en differens eller en skillnad).

Okej, men då är ju svaret: triangelarean är 3 gånger så stor som den andra arean.

Ja, eller att den andra arean är 1/3 av triangelarean.

I uppgift b ska jag göra exakt samma sak som i a men nu med andra "värden":

Arean av den triangel som bildas =

$A = \frac{2.2 * 5}{2} = 5.5 a.e$

Sedan räknar jag ut hela områdets area:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{2.2}5-x^{2}dx {\left[5x- \frac{x^3}{3}\right]}_0^{2.2} \left(5 * 2.2 - \frac{2.2^3}{3}\right) - \left(5*0 - \frac{0^3}{3}\right)= \\ \left(11 - \frac{10.6}{3}\right) \end{gathered}$$

Bör jag avrunda till 2.2? miniräknaren ger detta:

Avrunda aldrig innan du utför dina beräkningar, det kan ge stora felvärden.

Använd antingen 2.236068 sparat i en minnnescell i miniräknaren eller det exakta värdet $\sqrt{5}$

$\left(5 * \sqrt{5} - \frac{{\sqrt{5}}^3}{3}\right) - \left(5 * 0 - \frac{0^3}{3}\right)$

Hur skulle jag förresten kunnat veta att 2.236068 är $\sqrt{5}$ ? Är det något man bör kunna?

Ja, använd sedan $\sqrt{5}$ när du beräknar arean på triangeln också.

Ta totala arean (som du precis beräknade) minus triangelns area och räkna tills du får $\frac{5\sqrt{5}}{6}$

Dividera detta med triangelns area för att få förhållandet.

MonaV skrev:

Hur skulle jag förresten kunnat veta att 2.236068 är $\sqrt{5}$ ? Är det något man bör kunna?

 2.236068 är nollstället till funktionen $y = 5 -x^2$

nollstället till funktionen beräknas:

$$\begin{gathered} 0 = 5-x^2 \\ {x}^2=5 \\ x=\pm \sqrt{5} \end{gathered}$$

Jaha :)

Arean för triangeln bli ju då $\frac{5 * \sqrt{5}}{2}$ = 7.90569415

Exakt, men skriv inte ut att det blir 7,9056... det är där avrundningsfelen kommer. Behåll det på den exakta formen.

Beräkna sedan totala arean minus triangelns area:

$(5*\sqrt{5}-\frac{{\sqrt{5}}^3}{3})-\left(\frac{5*\sqrt{5}}{2}\right)$

Detta ska bli:

$\frac{5\sqrt{5}}{6}$

Beräkna och kontrollera att du får samma svar.

${\int }_0^{\sqrt{5}}5- x^{2}dx {\left[5x - \frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{5}} \left(5 * \sqrt{5} - \frac{{\sqrt{5}}^3}{3}\right) - \left(5* 0 - \frac{0^3}{3}\right)$

MonaV skrev:

Hur skulle jag förresten kunnat veta att 2.236068 är $\sqrt{5}$ ? Är det något man bör kunna?

 Nej, det ska man inte kunna; för övrigt är $2.236068$ inte lika med $\sqrt{5}$ eftersom talet $\sqrt{5}$ har en oändligt lång decimalutveckling och vi vet inte vad som kommer efter 8 i det du skrivit. 

Slutsats: Använd inte miniräknare för att lösa ekvationer, utan lita till din egen förmåga; miniräknaren ska bara användas som en kontroll av dina egna beräkningar. 

Det där är arean för hela området. Du ska ta det du precis fick fram sedan ska du subtrahera det med arean på triangeln ($\frac{5\sqrt{5}}{2}$)

Beräkna det och förenkla så långt det går:

Jag har skrivit i inlägget innan vad svaret blir, testa och se om du får samma svar.

Jag vet att jag måste förlänga nämnaren till 6 på båda sidor för att kunna subtrahera men det blir en stor gröt av det hela 

Du kan få lite tips:

Alla termer som multipliceras med 0 är lika med 0 och behöver inte skrivas ut.

Du kan skriva om: ${\sqrt{5}}^3={\sqrt{5}}^2*\sqrt{5}=5*\sqrt{5}$

Sedan är det bara att förlänga nämnaren till 6 och räkna ihop allt.

$$\begin{gathered} \left(5 * \sqrt{5} - \frac{{\sqrt{5}}^3}{3}\right) - \left(\frac{5 * \sqrt{5}}{2}\right) \\ \left(5 * \sqrt{5} - \frac{5* \sqrt{5}}{3}\right) - \left(\frac{5 * \sqrt{5}}{2}\right) \\ \left(5 * \sqrt{5} - \frac{10* \sqrt{5}}{6}\right) - \left(\frac{15 * \sqrt{5}}{6}\right) \end{gathered}$$

det blir jätte fel bara

Du är på rätt spår, du måste bara förlänga så att första termen också får 6 i nämnaren. Sedan kan sätta alla termer under samma nämnare och beräkna täljaren.

Ska jag sätta $\frac{5* \sqrt{5}}{6}$ hur blir det i täljaren?

Du ska förlänga $5\sqrt{5}$ med 6 så att det blir $\frac{6*5*\sqrt{5}}{6}$

Då har alla dina termer samma nämnare.

Då kan du sätta ihop dem till ett bråk som har 6 som nämnare och i täljaren har du:

Första termens täljare - andra termens täljare - tredje termens täljare.

$$\begin{gathered} \left(5* \sqrt{5 } - \frac{\sqrt{5^3}}{3}\right) - \left(\frac{5 * \sqrt{5}}{2}\right) \\ \left(\frac{6 * 5* \sqrt{5 }}{6} - \frac{2*5\sqrt{5^{}}}{6}\right) - \left(\frac{3 *5 * \sqrt{5}}{6}\right) \\ \left(\frac{30* \sqrt{5 }}{6} - \frac{10*\sqrt{5}}{6}\right) - \left(\frac{15 * \sqrt{5}}{6}\right) \\ \left(\frac{30* \sqrt{5} - 10 *\sqrt{5} - 15 * \sqrt{5}}{6}\right) =\frac{5\sqrt{5}}{6} \end{gathered}$$

Bra, då har du beräknat arean för ett område,

Vad är då förhållandet mellan det området och triangelns area?

triangelns area är 6 gånger så stor.

Inte riktigt, hur kom du fram till den slutsatsen?

Ne triangelns area är : $\left(5 * \sqrt{5} - \frac{\sqrt{5^3}}{3}\right)$

Och andra arean är: $\frac{5*\sqrt{5}}{6}$

Vet inte hur jag ska tolka förhållandet mellan dessa?

kokakakor skrev:

Inte riktigt, hur kom du fram till den slutsatsen?

 Jag funderade bara och tänkte inte till riktigt, förstod ganska fort att det inte var rätt.

Tror jag tänkte att andra arean var delat med 6

Förhållandet är samma som kvoten av de två olika areorna.

$\frac{3}{6}$

När jag försöker tänka på kvot tänker jag automatiskt att det har någonting med att gör att triangeln har en area som är delat med 3 och andra arean är delad i 6. 

Jag får bara hel enkelt inte till det.

Triangelns area är inte $5*\sqrt{5}-\frac{{\sqrt{5}}^3}{3}$, det är arean på totala området.

Du har beräknat triangelns area i ett tidigare inlägg.

Använd den och beräkna sedan förhållandet

Jag snurrade ihop dom, 

Triangeln =$\frac{5*\sqrt{5}}{2}$

Andra arean = $\frac{5*\sqrt{5}}{6}$

Alltså är triangelns area 3 ggr så stor som andra areans

Ja

Ska jag gör samma sak igen nu i c? Alltså:

Undersök vad resultatet blir för den allmänna kurvan y = a - x2.

Ja, den enda skillnaden är att du får använda nollstället till y = a-x^2 istället för $\sqrt{5}$ när du räknar ut triangelns area och integralgränserna.

Okej, för jag kan väl inte rita upp en graf nu?

Så då ska jag tänka att y = $a-x^2$ skär i x-axeln där $x=\pm \sqrt{a}$ ( där jag bara behöver tiita på den positiva roten) och y-axeln y = a

$$\begin{gathered} A_1 = \frac{bh}{2} \\ {A}_1 = \frac{a\sqrt{a}}{2} \end{gathered}$$

$A_2 = {\int }_0^{\sqrt{a}}a- x^{2}dx {\left[ax - \frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{a}} \left(a * \sqrt{a} - \frac{\sqrt{a^3}}{3}\right) - 0$

Självklart kan du rita upp en graf, du kan bara inte gradera axlarna med siffror utan du får gradera med bokstäver.

När x=0 har du y värder y(0)=a-0^2=a, alltså skär linjen y-axeln vid (0,a)

Nollstället har du när:

$$\begin{gathered} a-x^2 =0 \\ {x}^2=a \\ x=\pm \sqrt{a} för alla a \ge 0 \end{gathered}$$

Alltså skär linjen x axeln vid $(\sqrt{a}, 0)$

Exakt, forsätt beräkna den lilla områdets area

Något sånt?

$$\begin{gathered} \left(a* \sqrt{a} - \frac{a*\sqrt{a}}{3}\right) - \left(\frac{a\sqrt{a}}{2}\right) \\ \left(a* \sqrt{a} - \frac{a*\sqrt{a}}{3}\right) - \left(\frac{a\sqrt{a}}{2}\right) \\ \left(\frac{6*a* \sqrt{a}}{6} - \frac{2*a*\sqrt{a}}{6}\right) - \left(\frac{3 *a\sqrt{a}}{6}\right) \\ \left(\frac{6a \sqrt{a}}{6} - \frac{2a \sqrt{a}}{6}\right) - \left(\frac{3a \sqrt{a}}{6}\right) \\ \left(\frac{6a \sqrt{a}- 2a \sqrt{a- 3a \sqrt{a}}}{6}\right) = \frac{a\sqrt{a}}{6} \end{gathered}$$

Samma svar här triangelns area är 3 gånger så stor

Jag har fastnat på det allmänna fallet

Bild på det jag gjort:

Det jag fastnar på, är att jag inte vet hur ja ska få bort det där b:et jag ringat in. Kan mycket väl vara så att jag gjort något fel påvägen.

Precis som innan kan du skriva om uttrycket som är upphöjt till 3:

$$\begin{gathered} \frac{b*{\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}^3}{3} \\ =\frac{b*{\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}^2*\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{3} \\ =\frac{b*{\displaystyle \frac{a}{b}}*\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{3} \\ =\frac{a*\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{3} \end{gathered}$$

Gjorde denna graf för c-uppgiften

Men för d-uppgiften skär linjen x-axeln  då y= 0 är x= $\pm \sqrt{\frac{a}{b}}$

Och linjen skär y-axeln då y = 0 då x = a

Stämmer det?

Ja, det ser rätt ut. Vilken är arean för triangeln? Vilken är arean för området mellan diagonalen och kurvan? Vilket är förhållandet mellan de båda areorna?

Triangeln: $\frac{a\sqrt{a}}{2}$

Andra arean : $\frac{a\sqrt{a}}{6}$

Förhållandet 3:1

i d: Graf 1:

Triangelns area = $\frac{4 * \sqrt{2}}{2}$

Andra arean = $\frac{4 * \sqrt{2}}{6}$

Förhållande = 3:1

Graf 2:

Triangelns area = $\frac{a * \sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{2}$

Andra arean = $\frac{a *\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{6}$

Förhållandet = 3:1

Corokia cotoneaster skrev:

i d: Graf 1:

Triangelns area = $\frac{4 * \sqrt{2}}{2}$

Andra arean = $\frac{4 * \sqrt{2}}{6}$

Förhållande = 3:1

 

Graf 2:

Triangelns area = $\frac{a * \sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{2}$

Andra arean = $\frac{a *\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}}{6}$

Förhållandet = 3:1

Hej! Jag sitter idag med samma uppgift och hittade denna tråden, hur räknade du ut sista uppgifterna? c och d? Hänger inte riktigt med i uträkningen. 

glitterkoffein, gör en egen tråd där du visar hur långt DU har kommit med uppgiften, så kan vi hjälpa dig vidare. /moderator