20 svar
1254 visningar
Shiya behöver inte mer hjälp
Shiya 103
Postad: 6 dec 2019 21:30

Beräkna följande gränsvärde:

Beräkna följande gränsvärde:
limx0sinhx4-x4(x-sinx)4,(sinhx=ex-e-x2).\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(x-\sin x)^4}, ( \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2})}.

 

Hur man löser den här uppgiften? och här både sinh x och sin x samma?

Trinity2 1847
Postad: 6 dec 2019 22:06
Shiya skrev:

Beräkna följande gränsvärde:
limx0sinhx4-x4(x-sinx)4,(sinhx=ex-e-x2).\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(x-\sin x)^4}, ( \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2})}.

 

Hur man löser den här uppgiften? och här både sinh x och sin x samma?

Maclaurinutveckling

Affe Jkpg 6630
Postad: 6 dec 2019 23:40

Täljare: Maclaurinutveckling
Nämnare: Pascals triangel

tomast80 4245
Postad: 7 dec 2019 10:22

I nämnaren kan man utveckla:

x-sinxx36x-\sin x \approx \frac{x^3}{6}

Sedan kan man substituera: x4=tx^4=t.

Då erhålls istället följande gränsvärde:

64·limt0sinht-tt3=...6^4\cdot \lim_{t \to 0}\frac{\sinh t-t}{t^3}=...

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 7 dec 2019 10:27 Redigerad: 7 dec 2019 10:35

sinhx4-x4(x(1-sinxx))4\dfrac{\sinh x^4-x^4}{(x(1-\frac{\sin x}{x}))^4} förenklas till

sinhx4x4-1(1-sinxx)4\dfrac{\frac{\sinh x^4}{x^4}-1}{(1-\frac{\sin x}{x})^4}

Kan det leda nånvart?

Shiya 103
Postad: 7 dec 2019 18:02

Tack så mycket för era förslag, jag ska försöka att lösa uppgiften.

Shiya 103
Postad: 8 dec 2019 16:43 Redigerad: 8 dec 2019 19:28

Kan någon ge tips om vilken metod som är rätt?

METOD 1

Av standardutvecklingarna få vi att
sinx=x-x36+x5B1(x)\sin x= x-\frac{x^3}{6}+x^5B_1(x)
ex=1+x+12x2+16x3+124x4+x5B2xe^x= 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+x^5B_{2\left(x\right)}
e-x=1-x+12x2-16x3+124x4-x5B3xe^{-x}=1-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4-x^5B_{3\left(x\right)}
där$ B_1(x), B_2(x)$ och $B_3(x)$ är begränsade funktioner.

Vidare
sinhx=ex-e-x2=x+16x3+x5B2x+B3x\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\frac{1}{6}x^3+x^5\left(B_2\left(x\right)+B_3{\left(x\right)}\right)
och
ex-e-x2-x4=x+16x3-x4+x5B(x)\frac{e^x-e^{-x}}{2}-x^4=x+\frac{1}{6}x^3-x^4+x^5B(x)
där $B(x)$ är begränsade funktion.

 

Method 2
x-sinxx36 x-\sin x\approx \frac{x^3}{6}
Då är
limx0sinhx4-x4(x-sinx)4=limx0sinhx4-x4(x36)4\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(x-\sin x)^4}=\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(\frac{x^3}{6})^4}
Om vi sustituerar $t=x^4$ får vi
limt064·sinht-tt3\lim_{t\to0}6^4\cdot\frac{\sinh t -t}{t^3}
Genom hospitals regel får vi
.......(sist)
64limt0cosht66^4\lim_{t\to0}\frac{\cosh t}{6}
Om vi sätt in $t=x^4$ får vi
64limx0coshx46=64·16=63=216.6^4\lim_{x\to0}\frac{\cosh x^4}{6}=6^4 \cdot \frac{1}{6}=6^3=216.

Affe Jkpg 6630
Postad: 8 dec 2019 17:56

sinh(x4)=ex4ex42

… läs gärna inlägget från t.ex. tomast80

Shiya 103
Postad: 8 dec 2019 18:42 Redigerad: 8 dec 2019 19:17

Fortsätt

sinhx=ex-e-x2,sinhx4=ex-e-x24sinh\:x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\:\:sinh\:x^4=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^4 

från 64·limt0sinht-tt36^4\cdot \lim _{t\to 0}\frac{\sinh \:t\:-t}{t^3}

Är du menar detta?

Shiya 103
Postad: 8 dec 2019 18:43

och sinhx4x+16x34 \:sinh\:x^4\approx \left(x+\frac{1}{6}x^3\right)^4

tomast80 4245
Postad: 8 dec 2019 19:15

Det är viktigt att skilja på:

sinh4x=(sinhx)4\sinh^4 x=(\sinh x)^4

och

sinhx4=sinh(x4)\sinh x^4=\sinh (x^4)

Shiya 103
Postad: 8 dec 2019 19:26

Tack! då blir 

sinx4=ex4-e-x42sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}?

tomast80 4245
Postad: 8 dec 2019 19:49
Shiya skrev:

Tack! då blir 

sinx4=ex4-e-x42sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}?

Ja, det stämmer!

Laguna Online 30256
Postad: 8 dec 2019 20:52
tomast80 skrev:
Shiya skrev:

Tack! då blir 

sinx4=ex4-e-x42sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}?

Ja, det stämmer!

Fast ni glömde h:et i sinh.

Affe Jkpg 6630
Postad: 9 dec 2019 08:46 Redigerad: 9 dec 2019 08:49

Maclaurin-utveckling:

ex4=           1+     x4  + (x4)24   +  (x4)36....-e-x4=-1-(-x4)-(-x4)24-(-x4)36....x-sin(x)=x-(x-x36....)limx02x42+2(x4)32*6-x4(x36)4=limx0x126x1264=63

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Shiya 103
Postad: 9 dec 2019 09:37

Tack för hjälpen 😊

Magdah 2 – Fd. Medlem
Postad: 23 apr 2020 16:11
Affe Jkpg skrev:

Maclaurin-utveckling:

ex4=           1+     x4  + (x4)24   +  (x4)36....-e-x4=-1-(-x4)-(-x4)24-(-x4)36....x-sin(x)=x-(x-x36....)limx02x42+2(x4)32*6-x4(x36)4=limx0x126x1264=63

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Hej, Jag håller på att lösa samma uppgift och har snart greppat allt. Undrar dock varför termen (x4)2/2 inte är med vid beräkningen av gränsvärdet? 


Shiya 103
Postad: 23 apr 2020 16:44
Magdah skrev:
Affe Jkpg skrev:

Maclaurin-utveckling:

ex4=           1+     x4  + (x4)24   +  (x4)36....-e-x4=-1-(-x4)-(-x4)24-(-x4)36....x-sin(x)=x-(x-x36....)limx02x42+2(x4)32*6-x4(x36)4=limx0x126x1264=63

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Hej, Jag håller på att lösa samma uppgift och har snart greppat allt. Undrar dock varför termen (x4)2/2 inte är med vid beräkningen av gränsvärdet? 


Är du menar det?  Det både är borta eftersom både är x^8/4.

viktoria10 63 – Fd. Medlem
Postad: 13 maj 2021 11:25

Är metod 2 rätt? Jag försöker lösa likande uppgifter och tycker att den metoden ser lätt ut att använda men det är ingen som svarat Shiya om den är rätt.

Shiya 103
Postad: 13 maj 2021 12:15
viktoria10 skrev:

Är metod 2 rätt? Jag försöker lösa likande uppgifter och tycker att den metoden ser lätt ut att använda men det är ingen som svarat Shiya om den är rätt.

Hoppas att det hjälper till dig

viktoria10 63 – Fd. Medlem
Postad: 13 maj 2021 18:10

Stort tack Shiya! :) 

Svara
Close