Beräkna följande gränsvärde:

Shiya skrev:

Beräkna följande gränsvärde:
$\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(x-\sin x)^4}, ( \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2})}.$

 

Hur man löser den här uppgiften? och här både sinh x och sin x samma?

Maclaurinutveckling

Täljare: Maclaurinutveckling
Nämnare: Pascals triangel

I nämnaren kan man utveckla:

$x-\sin x \approx \frac{x^3}{6}$

Sedan kan man substituera: $x^4=t$.

Då erhålls istället följande gränsvärde:

$6^4\cdot \lim_{t \to 0}\frac{\sinh t-t}{t^3}=...$

$\dfrac{\sinh x^4-x^4}{(x(1-\frac{\sin x}{x}))^4}$ förenklas till

$\dfrac{\frac{\sinh x^4}{x^4}-1}{(1-\frac{\sin x}{x})^4}$

Kan det leda nånvart?

Tack så mycket för era förslag, jag ska försöka att lösa uppgiften.

Kan någon ge tips om vilken metod som är rätt?

METOD 1

Av standardutvecklingarna få vi att
$\sin x= x-\frac{x^3}{6}+x^5B_1(x)$
$e^x= 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+x^5B_{2\left(x\right)}$
$e^{-x}=1-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4-x^5B_{3\left(x\right)}$
där$ B_1(x), B_2(x)$ och $B_3(x)$ är begränsade funktioner.

Vidare
$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\frac{1}{6}x^3+x^5\left(B_2\left(x\right)+B_3{\left(x\right)}\right)$
och
$\frac{e^x-e^{-x}}{2}-x^4=x+\frac{1}{6}x^3-x^4+x^5B(x)$
där $B(x)$ är begränsade funktion.

Method 2
$x-\sin x\approx \frac{x^3}{6}$
Då är
$\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(x-\sin x)^4}=\lim_{x\to0}\frac{\sinh x^4 -x^4}{(\frac{x^3}{6})^4}$
Om vi sustituerar $t=x^4$ får vi
$\lim_{t\to0}6^4\cdot\frac{\sinh t -t}{t^3}$
Genom hospitals regel får vi
.......(sist)
$6^4\lim_{t\to0}\frac{\cosh t}{6}$
Om vi sätt in $t=x^4$ får vi
$6^4\lim_{x\to0}\frac{\cosh x^4}{6}=6^4 \cdot \frac{1}{6}=6^3=216.$

$\sin h\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{x^4}}{2}$

… läs gärna inlägget från t.ex. tomast80

Fortsätt

$sinh\:x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\:\:sinh\:x^4=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^4$ 

från $6^4\cdot \lim _{t\to 0}\frac{\sinh \:t\:-t}{t^3}$

Är du menar detta?

och $\:sinh\:x^4\approx \left(x+\frac{1}{6}x^3\right)^4$

Det är viktigt att skilja på:

$\sinh^4 x=(\sinh x)^4$

och

$\sinh x^4=\sinh (x^4)$

Tack! då blir 

$sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}$?

Shiya skrev:

Tack! då blir 

$sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}$?

Ja, det stämmer!

tomast80 skrev:

Shiya skrev:

Tack! då blir 

$sin\left(x^4\right)=\frac{e^{x^4}-e^{-x^4}}{2}$?

Ja, det stämmer!

Fast ni glömde h:et i sinh.

Maclaurin-utveckling:

$$\begin{gathered} e^{x^4}= 1+ x^4 + \frac{{\left(x^4\right)}^2}{4} + \frac{{\left(x^4\right)}^3}{6}.... \\ -e^{-x^4}=-1-(-x^4)-\frac{{(-x^4)}^2}{4}-\frac{{(-x^4)}^3}{6}.... \\ x-\sin \left(x\right)=x-(x-\frac{x^3}{6}....) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{2{\left(x^4\right)}^3}{2*6}}-x^4}{{\left({\displaystyle \frac{x^3}{6}}\right)}^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x^{12}}}{6}}}{{\displaystyle \frac{x^{12}}{6^4}}}={\mathbf{6}}^{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Tack för hjälpen 😊

Affe Jkpg skrev:

Maclaurin-utveckling:

$$\begin{gathered} e^{x^4}= 1+ x^4 + \frac{{\left(x^4\right)}^2}{4} + \frac{{\left(x^4\right)}^3}{6}.... \\ -e^{-x^4}=-1-(-x^4)-\frac{{(-x^4)}^2}{4}-\frac{{(-x^4)}^3}{6}.... \\ x-\sin \left(x\right)=x-(x-\frac{x^3}{6}....) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{2{\left(x^4\right)}^3}{2*6}}-x^4}{{\left({\displaystyle \frac{x^3}{6}}\right)}^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x^{12}}}{6}}}{{\displaystyle \frac{x^{12}}{6^4}}}={\mathbf{6}}^{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Hej, Jag håller på att lösa samma uppgift och har snart greppat allt. Undrar dock varför termen (x⁴)²/2 inte är med vid beräkningen av gränsvärdet? 

Magdah skrev:

Affe Jkpg skrev:

Maclaurin-utveckling:

$$\begin{gathered} e^{x^4}= 1+ x^4 + \frac{{\left(x^4\right)}^2}{4} + \frac{{\left(x^4\right)}^3}{6}.... \\ -e^{-x^4}=-1-(-x^4)-\frac{{(-x^4)}^2}{4}-\frac{{(-x^4)}^3}{6}.... \\ x-\sin \left(x\right)=x-(x-\frac{x^3}{6}....) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{2{\left(x^4\right)}^3}{2*6}}-x^4}{{\left({\displaystyle \frac{x^3}{6}}\right)}^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle x^{12}}}{6}}}{{\displaystyle \frac{x^{12}}{6^4}}}={\mathbf{6}}^{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

PS. Ibland beter sig formelskrivaren konstigt och ger ful text som t.ex. på näst sista raden.

Hej, Jag håller på att lösa samma uppgift och har snart greppat allt. Undrar dock varför termen (x⁴)²/2 inte är med vid beräkningen av gränsvärdet? 

---

Är du menar det?  Det både är borta eftersom både är x^8/4.

Är metod 2 rätt? Jag försöker lösa likande uppgifter och tycker att den metoden ser lätt ut att använda men det är ingen som svarat Shiya om den är rätt.

viktoria10 skrev:

Är metod 2 rätt? Jag försöker lösa likande uppgifter och tycker att den metoden ser lätt ut att använda men det är ingen som svarat Shiya om den är rätt.

Hoppas att det hjälper till dig

Stort tack Shiya! :)