Beräkna flödet genom en triangelskiva (flervariabelanalys)

Hej!

Jag undrar lite kring följande uppgift:

Om vi kallar triangelskivan L så vill vi beräkna:

$\iint F \cdot n d S L$

där n är enhetsnormalen (jag låter den vara riktad i positiv z-riktning) och dS är areaelementet.

Jag tänker att det går att parametrisera triangelskivan på följande sätt:

L: $\{\begin{cases} x = t \\ y = s \\ z = 1 - s - t \\ 0 \leq t \leq 1 \\ 0 \leq s \leq 1 \end{cases}$

Vilket ger $F = (t - s + t s, - 2 t + s, t (1 - s - t))$

Enhetsnormalen borde bli $n = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1)$

och areaelementet $d S = d t d s$

Insättning i formeln ovan:

$\iint F \cdot n d S = \iint (t - s + t s, - 2 t + s, t (1 - s - t)) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1, 1, 1) d t d s L L = \frac{1}{\sqrt{3}} \iint (t - s + t s) + (- 2 t + s) + t (1 - s - t) d t d s L = \frac{1}{\sqrt{3}} \iint - t^{2} d t d s = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} 1 d s \int_{0}^{1} - t^{2} d t = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \frac{- 1}{3} = - \frac{1}{3 \sqrt{3}} L$

Alltså är flödet $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ i negativ z-riktning.

I facit står det dock att flödet är $\frac{1}{12}$ i negativ z-riktning. Var har jag tänkt fel?

Tacksam för hjälp! :)

Du har integralgränserna 0 till 1 i både x och y-led, det blir väl en fyrkant och ingen triangel?

dS är inte dsdt

Det borde vara

dS = |n|dsdt

Micimacko skrev:
Du har integralgränserna 0 till 1 i både x och y-led, det blir väl en fyrkant och ingen triangel?

Ja precis, det är som du säger. Jag visualiserade den i geogebra:

Om jag då läger till villkoret z>=0, alltså 1-u-s>=0 så bör det bli en triangelskiva.

Om jag räknar om integralen innan får jag:

$\frac{1}{\sqrt{3}} \iint - t^{2} d t d s = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} (\int_{0}^{1 - s} - t^{2} d t) d s = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} ({[- \frac{t^{3}}{3}]}_{0}^{1 - s} d s = - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \int_{0}^{1} (1 - s)^{3} d s = - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \int_{0}^{1} 1 - 3 s + 3 s^{2} - s^{3} d s = - \frac{1}{3 \sqrt{3}} \int_{0}^{1} {[s - \frac{3 s^{2}}{2} + s^{3} - \frac{s^{4}}{4}]}_{0}^{1} d s = - \frac{1}{3 \sqrt{3}} (1 - \frac{3}{2} + 1 - \frac{1}{4}) = - \frac{1}{12 \sqrt{3}}$

Men det verkar dyka upp en faktor 1/sqrt3 för mycket.

jamolettin skrev:
dS är inte dsdt

Det borde vara

dS = |n|dsdt

Okej, är n i detta fall normerad?

Nej, i så fall skulle |n| =1 och sakna betydelse.

n = dr/ds x dr/dt, där r är en vektor med din parametrisering.

I ditt fall blir det

n =(1, 1, 1)

Normen blir då sqrt(3).

Svara

Visa senaste svar