7 svar
1389 visningar
Shiya behöver inte mer hjälp
Shiya 103
Postad: 29 apr 2020 18:54 Redigerad: 29 apr 2020 18:55

Beräkna flödet av vektorfältet genom halvsfären

Beräkna flödet av vektorfältet
u(x,y,z)=(x3+y17,y3-100,x+z3)u(x,y,z) = (x^3 + y^{17}, y^3 - 100, x + z^3)
genom halvsfären
S=(x,y,z)ϵR3:x2+y2+z2=4,z>0S = {(x, y,z) \epsilon R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 4, z > 0}

 

Jag har gjort följande:

 

Yu·NdS=Kdiv u dxdydz=K(3x2+3y2+3z2)dxdydz.

Och genom rymdkoordinater fås

K(3x2+3y2+3z2)dxdydz=302πdφ0π2sinθ02r4dr=1925π.

Jag är osäker med denna lösning eftersom det passer om z0, dvs. ett komapakt område, men vi har z>0. Så kan någon hjälpa mig hur man löser detta.

Tack förhand.

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 29 apr 2020 23:07

Jag tolkar uppgiften som att de bara vill veta flödet genom halvsfären. Gauss sats ger dig det totala utflödet, alltså även genom "bottenplattan".

Men om du tittar på fältet ser du att u·(-z^dxdy)\mathbf{u}\cdot (-\hat{z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y) bara lämnar komponenten -xdxdy-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y kvar att integrera över (z=0).

Och den blir ju noll eftersom x är en jämn funktion över "bottenplattan". Summan av flödet ut genom "bottenplattan" som kom med i av bara farten när du använde Gauss sats  är alltså noll.

Shiya 103
Postad: 30 apr 2020 00:49
Jroth skrev:

Jag tolkar uppgiften som att de bara vill veta flödet genom halvsfären. Gauss sats ger dig det totala utflödet, alltså även genom "bottenplattan".

Men om du tittar på fältet ser du att u·(-z^dxdy)\mathbf{u}\cdot (-\hat{z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y) bara lämnar komponenten -xdxdy-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y kvar att integrera över (z=0).

Och den blir ju noll eftersom x är en jämn funktion över "bottenplattan". Summan av flödet ut genom "bottenplattan" som kom med i av bara farten när du använde Gauss sats  är alltså noll.

Jag förstår inte riktigt, men jag har räknat som jag förstod:

K(3x2+3y2+3z2)dxdydz= (3x2+3y2)dxdydz + 3z2dxdydz=3x2+y24-z2 (x2+y2)dxdy + -4-x2-y24-x2-y2 3z2 dz x2+y24-z2dxdy(polära koordinater)

=6π· r44-4-z2    + z3-4-x2-y2      ·     2πr224-z2 -4-z2 4-x2-y2=0 + z·0= 0

Är du menar detta?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 30 apr 2020 07:11 Redigerad: 30 apr 2020 07:18

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym VV där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet u\mathbf{u} lever i ett öppet område som håller VV och SS.

Su·dS=V·udV\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Din yta Y1Y_1 är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" Y2Y_2.

Gauss sats:

Y1u·NSdS+Y2u·NzdS=V·udV\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Integralen över den gröna bottenplattan Y2Y_2 är 0, eftersom

Y2u·NzdS=Y2u·(-z^dxdy)=Y2-xdxdy=0\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

Alltså blir det sökta flödet genom ytan Y1Y_1

Y1u·dS=V·udV=192π5\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}

Shiya 103
Postad: 30 apr 2020 11:35
Jroth skrev:

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym VV där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet u\mathbf{u} lever i ett öppet område som håller VV och SS.

Su·dS=V·udV\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Din yta Y1Y_1 är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" Y2Y_2.

Gauss sats:

Y1u·NSdS+Y2u·NzdS=V·udV\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Integralen över den gröna bottenplattan Y2Y_2 är 0, eftersom

Y2u·NzdS=Y2u·(-z^dxdy)=Y2-xdxdy=0\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

Alltså blir det sökta flödet genom ytan Y1Y_1

Y1u·dS=V·udV=192π5\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}

Tack så mycket!

Shiya 103
Postad: 30 apr 2020 22:34 Redigerad: 30 apr 2020 23:01
Jroth skrev:

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym VV där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet u\mathbf{u} lever i ett öppet område som håller VV och SS.

Su·dS=V·udV\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Din yta Y1Y_1 är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" Y2Y_2.

Gauss sats:

Y1u·NSdS+Y2u·NzdS=V·udV\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V

Integralen över den gröna bottenplattan Y2Y_2 är 0, eftersom

Y2u·NzdS=Y2u·(-z^dxdy)=Y2-xdxdy=0\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

Alltså blir det sökta flödet genom ytan Y1Y_1

Y1u·dS=V·udV=192π5\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}

Jag behöver lite råd: 

Jag har skrivit den

Yu·N2dS=Y(x3+y17,y3-100,x+z3)·(0,0,-1)dS=\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:= \int\int _{Y}(x^3 + y^{17}, y^3-100, x+z^3)\cdot(0, 0, -1)\:dS =
=Y-(x+z3)dS=Y-xdS,=\int\int _{Y} -(x+z^3)\:dS =\int\int _{Y} -x \:dS,
eftersom där Y=x,y,z:x2+y24,z=0.Y=\left\{\left(x,y,z\right):\:x^2+y^2\le 4,\:z=0\right\}.

Då är

Yu·N2dS=0\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:=0

Jag vill veta är det rätt eller måste man beräkna genom att göra polär variabel substitution?

dvs.

Yu·N2dS=0202π-rcosθ·rdrdθ=-r3302·sinθ02π=0.\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:= \int _0^2\int _0^{2\pi }-rcos\theta \cdot r\:drd\theta =-\:\left|\frac{r^3}{3}\right|_0^2\cdot \left|sin\:\theta \right|_0^{2\pi }=0.

Tack!

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 1 maj 2020 12:40 Redigerad: 1 maj 2020 12:41

Du kan beräkna integralen i polära koordinater och visa att den är noll.

Men du kan också skriva ungefär såhär:

Eftersom området Y2Y_2 är symmetriskt kring y-axeln och funktionen f(x,y)=-xf(x,y)=-x är en udda funktion med avseende på x (dvs  f(-x,y)=-f(x,y)f(-x,y)=-f(x,y) för alla (x,y)Y2(x,y)\in Y_2 ), så måste

Y2-xdxdy=0\displaystyle \iint_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

Shiya 103
Postad: 1 maj 2020 12:50
Jroth skrev:

Du kan beräkna integralen i polära koordinater och visa att den är noll.

Men du kan också skriva ungefär såhär:

Eftersom området Y2Y_2 är symmetriskt kring y-axeln och funktionen f(x,y)=-xf(x,y)=-x är en udda funktion med avseende på x (dvs  f(-x,y)=-f(x,y)f(-x,y)=-f(x,y) för alla (x,y)Y2(x,y)\in Y_2 ), så måste

Y2-xdxdy=0\displaystyle \iint_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0

Okej, tack så mycket för ditt hjälp 😊. 

Svara
Close