Beräkna flödet av vektorfältet genom halvsfären

Jag tolkar uppgiften som att de bara vill veta flödet genom halvsfären. Gauss sats ger dig det totala utflödet, alltså även genom "bottenplattan".

Men om du tittar på fältet ser du att $\mathbf{u}\cdot (-\hat{z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ bara lämnar komponenten $-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ kvar att integrera över (z=0).

Och den blir ju noll eftersom x är en jämn funktion över "bottenplattan". Summan av flödet ut genom "bottenplattan" som kom med i av bara farten när du använde Gauss sats  är alltså noll.

Jroth skrev:

Jag tolkar uppgiften som att de bara vill veta flödet genom halvsfären. Gauss sats ger dig det totala utflödet, alltså även genom "bottenplattan".

Men om du tittar på fältet ser du att $\mathbf{u}\cdot (-\hat{z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ bara lämnar komponenten $-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ kvar att integrera över (z=0).

Och den blir ju noll eftersom x är en jämn funktion över "bottenplattan". Summan av flödet ut genom "bottenplattan" som kom med i av bara farten när du använde Gauss sats  är alltså noll.

Jag förstår inte riktigt, men jag har räknat som jag förstod:

$$\begin{gathered} \int \int {\int }_K(3x^2+3y^2+3z^2)dxdydz=\int \int \int (3x^2+3y^2)dxdydz +\int \int \int 3z^{2}dxdydz \\ =3\int {\int }_{x^2+y^2\le 4-z^2} (x^2+y^2)dxdy + {\int }_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}} 3z^2 dz \int {\int }_{x^2+y^2\le 4-z^2}dxdy \\ (polära koordinater) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =6\mathrm{\pi }· {\left[\frac{{\mathrm{r}}^4}{4}\right]}_{-\sqrt{4-z^2} } + \left[z^3\right]{-}^{{}_{\sqrt{4-x^2-y^2} · 2\mathrm{\pi }{{\left[\frac{{\mathrm{r}}^2}{2}\right]}^{\sqrt{4-{\mathrm{z}}^2} }}_{-\sqrt{4-{\mathrm{z}}^2} }}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}} \\ =0 + \left[\mathrm{z}\right]·0= 0 \end{gathered}$$

Är du menar detta?

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym $V$ där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet $\mathbf{u}$ lever i ett öppet område som håller $V$ och $S$.

$\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Din yta $Y_1$ är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" $Y_2$.

Gauss sats:

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Integralen över den gröna bottenplattan $Y_2$ är 0, eftersom

$\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

Alltså blir det sökta flödet genom ytan $Y_1$

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}$

Jroth skrev:

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym $V$ där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet $\mathbf{u}$ lever i ett öppet område som håller $V$ och $S$.

$\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Din yta $Y_1$ är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" $Y_2$.

Gauss sats:

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Integralen över den gröna bottenplattan $Y_2$ är 0, eftersom

$\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

Alltså blir det sökta flödet genom ytan $Y_1$

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}$

Tack så mycket!

Jroth skrev:

Nej.

För att använda Gauss sats måste S vara en sluten styckvis glatt (eller lyda under något annat regularitetskrav som ni använder i er kurs) yta med utåtriktad normal som begränsar en volym $V$ där det kontinuerlig deriverbara vektorfältet $\mathbf{u}$ lever i ett öppet område som håller $V$ och $S$.

$\displaystyle \oint_S \mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Din yta $Y_1$ är inte sluten. Därför måste du lägga till en "bottenplatta" $Y_2$.

Gauss sats:

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_S\,\mathrm{d}S+\int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\,\mathrm{d}S=\int_V \nabla \cdot \mathbf{u}\,\mathrm{d}V$

Integralen över den gröna bottenplattan $Y_2$ är 0, eftersom

$\displaystyle \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{N}_z\, \mathrm{d}S= \int_{Y_2}\mathbf{u}\cdot(-\hat{z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)=\int_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

Alltså blir det sökta flödet genom ytan $Y_1$

$\displaystyle \int_{Y_1}\mathbf{u}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_V\nabla\cdot\mathbf{u}\,\mathrm{d}V=\frac{192\pi}{5}$

Jag behöver lite råd: 

Jag har skrivit den

$\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:= \int\int _{Y}(x^3 + y^{17}, y^3-100, x+z^3)\cdot(0, 0, -1)\:dS =$
$=\int\int _{Y} -(x+z^3)\:dS =\int\int _{Y} -x \:dS,$
eftersom där $Y=\left\{\left(x,y,z\right):\:x^2+y^2\le 4,\:z=0\right\}.$

Då är

$\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:=0$. 

Jag vill veta är det rätt eller måste man beräkna genom att göra polär variabel substitution?

dvs.

$\int\int _{Y}u\cdot N_2\:dS\:= \int _0^2\int _0^{2\pi }-rcos\theta \cdot r\:drd\theta =-\:\left|\frac{r^3}{3}\right|_0^2\cdot \left|sin\:\theta \right|_0^{2\pi }=0.$

Tack!

Du kan beräkna integralen i polära koordinater och visa att den är noll.

Men du kan också skriva ungefär såhär:

Eftersom området $Y_2$ är symmetriskt kring y-axeln och funktionen $f(x,y)=-x$ är en udda funktion med avseende på x (dvs  $f(-x,y)=-f(x,y)$ för alla $(x,y)\in Y_2$ ), så måste

$\displaystyle \iint_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

Jroth skrev:

Du kan beräkna integralen i polära koordinater och visa att den är noll.

Men du kan också skriva ungefär såhär:

Eftersom området $Y_2$ är symmetriskt kring y-axeln och funktionen $f(x,y)=-x$ är en udda funktion med avseende på x (dvs  $f(-x,y)=-f(x,y)$ för alla $(x,y)\in Y_2$ ), så måste

$\displaystyle \iint_{Y_2}-x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$

Okej, tack så mycket för ditt hjälp 😊.