Beräkna flödet

Du skall väl få

$\int \int \int$$\left(r\sin \theta +r^2{\cos }^2\theta +z\right)rdrd\theta dz$ = $\int \int \int r^2\sin \theta drd\theta dz$ + $\int \int \int r^3{\cos }^2\theta drd\theta dz$ + $\int \int \int rzdrd\theta dz$ = …

PATENTERAMERA skrev:

Du skall väl få

$\int \int \int$$\left(r\sin \theta +r^2{\cos }^2\theta +z\right)rdrd\theta dz$ = $\int \int \int r^2\sin \theta drd\theta dz$ + $\int \int \int r^3{\cos }^2\theta drd\theta dz$ + $\int \int \int rzdrd\theta dz$ = …

Stämmer det nu? 

$\int \int \int r^2\sin \theta drd\theta dz$ = ${\int }_0^1{r}^{2}dr$$·$${\int }_0^{2\pi }\sin \theta d\theta$$·$${\int }_0^{1}dz$ = $\frac{1}{3}·0·1$ = 0.

$\int \int \int r^3{\cos }^2\theta drd\theta dz$ = ${\int }_0^1{r}^{3}dr$$·$${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta$$·$${\int }_0^{1}dz$ = $\frac{1}{4}·\mathrm{\pi }·1$ = $\frac{\pi }{4}$.

$\int \int \int rzdrd\theta dz$ = ${\int }_0^{1}rdr·{\int }_0^{2\pi }d\theta ·{\int }_0^{1}zdz$ = $\frac{1}{2}·2\mathrm{\pi }·\frac{1}{2}$ = $\frac{\pi }{2}$.

Jag gör ett slarvfel i gränsen...... Jag får Flödet till $\displaystyle \frac{3 \pi}{4}$. Är det svaret? Jag tänker att flödet från botten och toppen är noll på grund av symmetrin. Så då behöver jag inte räkna på det?

Jag får också 3pi/4. Men förstår inte dina räkningar. Hur får du det till 3pi/4? Det borde bli ett flöde genom den övre begränsningsytan (z = 1). Men du skall väl beräkna flödet genom kroppens hela begränsningsyta och då behöver du bara beräkna volymsintegralen av divergensen.

Jag får också 3pi/4. Men förstår inte dina räkningar. Hur får du det till 3pi/4?

Om du utgår från där jag gjorde fel, alltså i det röd markerade området (byt ut den övre gränsen till $\displaystyle 2\pi$.) så vi får:

$[-\frac{1}{3}cos\theta + \frac{1}{4} \theta + \frac{1}{4}(\frac{\theta}{2}+ \frac{sin(\theta)cos(\theta)}{2})] _{0}^{2\pi}= (-\frac{1}{3}+ \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})-(-\frac{1}{3})= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$

Det borde bli ett flöde genom den övre begränsningsytan (z = 1). Men du skall väl beräkna flödet genom kroppens hela begränsningsyta och då behöver du bara beräkna volymsintegralen av divergensen.

Jag förstår inte riktigt vad du menar här. Ska jag beräkna $\iint_D F \cdot \vec n dS$ för botten och toppen???

När du använder Gauss så är det alltid en sluten yta som du beräknar flödet genom, så varför skulle du räkna ut toppen och botten separat? De ingår väl i kroppens begränsningsyta.

Det var ditt symmetriresonemang som jag inte höll med om, det blir flöde genom toppen, men inte botten.

PATENTERAMERA skrev:

När du använder Gauss så är det alltid en sluten yta som du beräknar flödet genom,

Jag är helt med på det.

så varför skulle du räkna ut toppen och botten separat? De ingår väl i kroppens begränsningsyta.

Ok! Jag insåg nyss att integralen med avseende på $z$ talar om för oss att ytan är sluten, visst?

Så alltså svaret på frågan är att flödet $=\frac{3\pi}{4}$. right?

Ja, det borde det bli.