Beräkna flödet

Hej, jag har fastnat lite på en uppgift och skulle behöva hjälp.

Uppgiften är Beräkna flöder av vektorfältet F=(x,y,z+1) upp (positiv z-koordinat) genom ytan $z = 1 - x^{2} - y^{2}, z \geq 0$

Jag började med att sätta r(s,t)=(s,t,1- $x^{2} - y^{2}$ )

$r ´_{s} \times r ´_{t}$ =(1,0,-2s)*(0,1,2t)=(2s,-2t,1)

(x,y,z+1)*(2s,-2t,1)dsdt

(s,t,1- $s^{2} - t^{2} - 1$ )*(2s,-2t,1)dsdt = ( $s^{2} - 3 t^{2} + 2$ )dsdt

Sen satte jag in det i dubbelintegralen $\iint F \times n d s = \iint_{D} (s^{2} - 3 t^{2} + 2) d s d t$ = $\{\frac{s = r \cos φ}{t = r \sin φ}\}$

och bytte till polära koordinater och fick $\iint_{E} (r^{2} \cos φ - 3 r^{2} \sin φ + 2) r d r d φ$

$\int_{0}^{1} {|\frac{1}{3} r^{3} \sin φ + r^{3} \cos φ + 2 r|}_{0}^{2 π} d r$

$2 π \int_{0}^{1} (r^{3} + 4 π) = 2 π {|\frac{1}{4} r^{4} + 2 π^{2}|}^{1}_{0}$ = $2 π (\frac{1}{4} + 2 π) = \frac{9 π}{2}$

Men svaret ska bli $\frac{5 π}{2}$

Hej goljadkin,

Parameterframställningen $\mathbf{r}(s,t)=\left(s,t,f(s,t)\right)$ har normalen

$\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r} }{\partial t}=(-f'_s, -f'_t, 1)$

I ditt fall alltså $\frac{\partial \mathbf{r} }{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{r} }{\partial t}=(2s,2t,1)$

Det gör att du småningom får integralen $\int (s^2+t^2+2)dsdt$ som efter byte till polära koordinater beräknas enkelt.

okej så blir det $\int (\begin{matrix} s^{2} + & t^{2} + & 2 \end{matrix}) d s d t$ = $|\frac{s = r \cos φ}{t = r \sin φ}| = \int (\begin{matrix} r^{2} \cos φ + & r^{2} \sin φ + & 2 \end{matrix}) r d r d φ$

$\int_{0}^{1} {|\begin{matrix} \frac{1}{3} r^{3} \cos φ + & \frac{1}{3} r^{3} \sin φ + & 2 r \end{matrix}|}_{0}^{2 π} d r$

Tänk på att $s^2+t^2=r^2cos^2(\varphi)+r^2sin^2(\varphi)=r^2$

Alltså $\iint (r^3+2r)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi=2\pi\left[\frac{r^4}{4}+r^2 \right ]_0^1$

Det blir mycket enklare med Gauss sats. Div F =3 ger totalflödet=3*volymen och flödet genom bottenytan är -1*arean..

Förvisso Henrik, men det bygger a) på att studenten vet vad Gauss sats är och b) att vi helt förkastar studentens ursprungliga ansats :)

a) Studenten vet vad Gauss sats är. Uppgiften är gjord för tillämpning av satsen.

b) Man förkastar ingen lösning genom att avslöja att det finns en enklare lösning.

okej så med Gauss sats får vi divF= $(\frac{x}{d x} + \frac{y}{d y} + \frac{z + 1}{d z}) = (1 + 1 + 1) = 3$

jag har nu $\iint \int_{K} 3 d x d y d z$

men hur ska jag ta mig vidare efter det?

Jag tror att man ska börja med att sätta $3 \times 2 π \int_{0}^{1} d r$

Att beräkna trippelintegralen gör du enklast med cylindriska koordinater, det verkar som du försökt byta till dessa koordinater men du har glömt ett par grejer. Först måste du ta hänsyn till Jacobianen samt att du även integrerar över z. Sedan kan det vara värt att tänka på att vi måste ha en sluten yta för att använda Gauss's sats direkt. Hur gör du annars?

Integrera först i z-led. Golvet är z=0, taket är z=1-x^2-y^2, integranden är 3. Så vad blir det?

Svara

Visa senaste svar