Beräkna flödesintegral

Uppgiften är att beräkna flödet av vektorfältet F=xz² +2xy + (z² + 2) ut ur cylindern x2+y2= 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Jag tänkte att eftersom att området är slutet så kan gauss-sats användas. Så jag beräknade divergensen som är: z² + 2x + 2z.

Då fick jag ∯F•dS = enligt gauss = ∫∫∫(z² + 2x + 2z)dV, men eftersom att 2x är en en udda funktion med avseende på x och området i cylindern är symmetriskt med tanke på x-axeln så kommer den biten att bli noll och den kan tas bort. Då har vi:

∫∫∫(z² + 2z)dV, och här bytte jag till cylindriska koordinater och får $\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{1} r d r \int_{0}^{1} (z^{2} + 2 z) d z$ som jag får till:
2π x ${\frac{r^2}{2}}_{0}^{1} \times ((z^3) / 3 + z^2)_{0}^{1}$ = 2π x 1/2 x (1/3 + 1) = 4π/3. Men svaret ska vara π/3.

Jag har alltså fått 1 för mycket. Så jag undrar om någon ser om jag gjort fel någonstans eller om det är fel i facit!

Ditt F är inget vektorfält. Menade du

$\mathbf{F}=xz^2\mathbf{i}+2xy \mathbf{j}+ (z^2 + 2) \mathbf{k}$ ?

dr_lund skrev:
Ditt F är inget vektorfält. Menade du
$\mathbf{F}=xz^2\mathbf{i}+2xy \mathbf{j}+ (z^2 + 2) \mathbf{k}$ ?

Oj ja det menade jag, använder inte beteckningen men i,j,k men det skulle stå med kommatecken mellan termerna.

När de skriver cylindern så räknar de nog inte med topp- och bottenytorna. På dess ytor är x² + y²= 1 inte uppfyllt överallt. Så det är nog bara cylinderns mantelyta som man vill veta flödet igenom.

Du får räkna ut flödet genom topp- och bottenytorna separat och dra av det från ditt svar.

Anm: Hade villkoren skrivits $x^2+y^2\leq 1,\quad 0\leq z\leq 1$ , hade dina kalkyler fungerat. Var alltså noggrann vid genomläsningen av problemtexten.

Anm 2: Jag räknade (för skojs skull) flödet genom mantelytan, utan divergenssats:

$\iint\limits_{mantelyta}\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\dfrac{\pi}{3}$ , som förväntat. Gör gärna den kalkylen själv, som nyttig övning.

dr_lund skrev:
Anm: Hade villkoren skrivits $x^2+y^2\leq 1,\quad 0\leq z\leq 1$ , hade dina kalkyler fungerat. Var alltså noggrann vid genomläsningen av problemtexten.
Anm 2: Jag räknade (för skojs skull) flödet genom mantelytan, utan divergenssats:
$\iint\limits_{mantelyta}\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\dfrac{\pi}{3}$ , som förväntat. Gör gärna den kalkylen själv, som nyttig övning.

Aha den skillnaden hade jag aldrig reflekterat över! det ska jag tänka på, det klargjorde en del för mig faktiskt, tack :)

Hm lät spännande, det ska jag ge ett försök

Svara

Visa senaste svar