Beräkna flödesintegral

Hej! Jag är ny på flödesintegraler och undrar vad jag gör för fel på den här uppgiften.

Flödesintegraler verkar beräknas genom $\int \int_{D} F (r) \cdot \frac{(r'_{x} \times r'_{y})}{| r'_{x} \times r'_{y} |} d x d y$ om r(x,y) är en parametrisering av området.

Låt $r = (x, y, 1 - x - y) \Rightarrow F (r) = (0, 0, 1 - x - y)$ .

$r'_{x} = (1, 0, - 1), r'_{y} = (0, 1, - 1) \Rightarrow r'_{x} \times r'_{y} = (1, 1, 1) \Rightarrow | r'_{x} \times r'_{y} | = \sqrt{3} \Rightarrow \frac{r'_{x} \times r'_{y}}{| r'_{x} \times r'_{y} |} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Intervallet borde ges av $0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 1 - y$ , men här är jag inte helt säker.

Integralen blir då $\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1 - y} (0, 0, 1 - x - y) (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}) d x) d y$ . Men vid uträkning av denna får jag $\frac{1}{4 \sqrt{3}}$ och svaret är $\frac{1}{6}$ . Eftersom $\sqrt{3}$ inte finns med i facits svar antar jag helt enkelt att det är integralen som är fel, och inte min uträkning. Är min ursprungliga definition av integralen fel?

Länge sedan jag gjorde flödesintegraler men jag tror att själva formeln du börjar med är fel.

Flödet ges som en ytintegral:

$\int \int_{Y} u \cdot N d S$

där $N = \frac{r_{s}' \times r_{t}'}{| r_{s}' \times r_{t}' |}$

och

$d S = | r_{s}' \times r_{t}' | d s d t$

där (s,t) alltså parametrisar ytan Y.

Så nämnaren i utrycket för N försvinner.

Flödesintegralen brukar skrivas

$\iint_{D} \vec{F} ∙ \vec{n} d S .$

Om du parametriserar ytan D med parametrar u och v så har vi att

$\vec{n} d S$ = $\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}$ $\times$ $\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ dudv

Du kan eventuellt behöva sätta in ett minustecken före i HL, beroende på vilken normalriktning problemet använder, det finns ju alltid två möjliga.

Om vi parametriserar med x och y så har vi

$\vec{r}$ = (x, y, f(x, y)), och får då

$\vec{n} d S$ = $(- \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1)$ dxdy.

Så i vårt fall får vi $\vec{n} d S$ = (1, 1, 1)dxdy

$\vec{F}$ • $\vec{n} d S$ = (0, 0, z)•(1, 1, 1)dxdy = zdxdy.

Notera att detta problem även kan lösas med Gauss sats. div $\vec{F}$ = 1, så det blir enkla räkningar, speciellt om du känner till hur man beräknar volymen av en pyramid.

Lyckades lösa uppgiften nu med era upplysningar, tusen tack till er båda!

Så nämnaren i utrycket för N försvinner.

Så bra, nu förstår jag varför min formel blev fel!

Du kan eventuellt behöva sätta in ett minustecken före i HL, beroende på vilken normalriktning problemet använder, det finns ju alltid två möjliga.

Det har du rätt i. Jag förstår inte riktigt det där med om den ska vara positiv eller negativ. Såhär har vår lärare formulerat det, men jag vet inte riktigt vad som menas.

I detta fall går flödet uppåt (enl. uppgiftsbeskrivningen), d.v.s. i samma riktning som normalvektorn. Är det därför som HL var positivt i detta fall?

Om flödet hade gått neråt (men normalvektorn hade varit densamma), hade man då satt in ett minustecken i HL?

Faxxi skrev:
I detta fall går flödet uppåt (enl. uppgiftsbeskrivningen), d.v.s. i samma riktning som normalvektorn. Är det därför som HL var positivt i detta fall?

Om flödet hade gått neråt (men normalvektorn hade varit densamma), hade man då satt in ett minustecken i HL?

Ja.

Svara

Visa senaste svar